u 1 u 2 u 3 u 4 u n Dimana U 1 Suku pertama U 2 Suku kedua U n Suku ken Pengertian Barisan Barisan adalah kumpulan dari beberapa bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu ID: 813520
Download The PPT/PDF document "Barisan dan Deret Secara umum barisan da..." is the property of its rightful owner. Permission is granted to download and print the materials on this web site for personal, non-commercial use only, and to display it on your personal computer provided you do not modify the materials and that you retain all copyright notices contained in the materials. By downloading content from our website, you accept the terms of this agreement.
Slide1
Barisan dan Deret
Slide2Secara umum barisan dapat dituliskan sbb :
u1, u2, u3, u4, . . . . , unDimana :U1 = Suku pertamaU2 = Suku kedua..Un=Suku ke-n
Pengertian Barisan
Barisan adalah kumpulan dari beberapa bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu.
Slide3Defenisi
deretPenjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deretJika barisan bilangan dinyatakan
dengan : u1, u
2
, u3, u4, . . . .,un-1 , unMaka deret bilangan tersebut dapat dituliskan sbb :Contoh :1. Deret bilangan asli : 1+2+3+4+5+…2. Deret Bilanga Prima : 2+3+5+7+11+…3. dll
U
1
+u
2
+ u
3
+ u
4
+ . . . .+u
n-1
+u
n
Slide4Menentukan rumus suku ke-n!
Contoh 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut : 2, 4, 8, 16 ?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!U1= 2 = 21U2= 4 = 22U3= 8 = 23U
4 =16 = 24Jadi dari pola diatas dapat disimpulkan bahwa : un = 2n
Slide5Contoh
2. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut :
1.2, 2.3,
3.4,
4.5,…?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!u1=1.2=1.(1+1)U2=2.3=2.(2+1)U3=3.4=3.(3+1)U4=4.5=4.(4+1)Jadi dari pengamata diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah Un=n.(n+1)
Slide6Cotoh
3. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut ini: 2,5,8,11,…Jawab :Gunakan pengamatan anda
dan tentukan suatu aturan
atau
rumus untuk suu ke-n!u1=2=2+(1-1).3=3.1-1U2=5=2+(2-1).3=3.2-1U3=8=2+(3-1).3=3.3-1U4=11=2+(4-1).3=3.4-1Jadi dari hasil pengamatan diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah : un=2+(n-1).3 atau un
=3n-1
Slide7Contoh
4. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 30,28,26,24,…?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!U1=30=30-(1-1).2=32-2.1U
2=28=30-(2-1).2=32-2.2U3=26=30-(3-1).2=32-2.3U
4
=24=30-(4-1).2=32-2.4Jadi dari hasil diatas dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah un=30 – (n-1).2 atau un=32-2n
Slide8Contoh
5. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 1,4,9,16,…?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suku ke-n!U1=1=1.1=12
U2=4=2.2=22U
3
=9=3.3=32U4=16=4.4=42Jadi dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah : Un=n2
Slide92. Barisandan deret aritmatika
Defenisi Barisan aritmatika:Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu
barisan dengan suku sebelumnya
adalah suatu bilangan tetap (b). Maka barisan ini adalah barisan Aritmatika. Bilangan tetap b disebut sebagai beda dari barisan . Secara umum jika : u1, u2, u3, u4, . . . . , un , adalah Barisan aritmatika
jikadan hanya jika
u
2
-u
1
=u
3
-u
2
=u
4
-u
3
=…=u
n
-
u
n-1
=
b
Contoh
:
barian
bilangan
asli
: 1,2,3,4,…
Dimana
: 2-1=3-2=4-3=5-4=…=1=b
Slide10Rumus
Suku ke-n dari barisan aritmatika ?Jika barisan aritmatika dinyatakan dengan : u1, u2, u3
, u4, . . . . , un yang memiliki beda
sebesar b maka suku ke-n dapat dinyatakan dengan : Un=u1+(n-1)b Dimana b= un-un-1
Slide11Contoh6. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan aritmatika berikut : 2,5,8,11,…?
Jawab :Dik: barisan : 2,5,8,11,… U1=2 U2=5Dit : U10= ?Jawab :
b= u2-u1=5-2 =3
U
n= u1 + (n-1)bU10=2 +(10-1)3U10 = 2 + 9.3U10 = 2 + 27U10 = 29
Slide12Rumus menentukan beda untuk barisan aritmatika ?
Jika dua suku yang berbeda dikitahui misalnya : um dan un dimana n>m maka besarnya beda dapat ditentukan
sbb:
Contoh
7. Tentukanlah beda dan u20 dari barisan aritmatika jika diketahui u10=24 dan u5 =9 ?Jawab :
Slide13Jawab : U1= u5 – (5-1).3U1= 9 – 4.3 = 9 - 12a=U1= - 3U20 = -3 + (20-1).3 = -3 + 19.3
U20 = -3 + 57U20 = 54
Slide14Defenisi
deret aritmatika : Jika u1, u2, u3, …., un merupakan barisan aritmatika maka penjumlahan dari u1 + u2
+ u3 + ….. + un disebut deret
aritmatika
.Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika yang ditulis dengan sn adalah : Jika u1 = a , u2 = a + b, u3 = a + 2b, un = a + (n-1)b maka :Sn = u1 +u2 + u3 + ….. + unDengan menggantikan
Slide15U
1 = a, u2 = a+b, u3 = a+2b, un-1 = a+(n-2)b, dan un = a+(n-1)b. maka diperoleh :Sn = a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(n-1)b)Sn=(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+(a+(n-3)b)+…+a2S
n=(2a+(n-1)b)+(2a+(n-1)b)+(2a+(n-1)b)+…+(2a+(n-1)b) nx
2S
n=n.(2a+(n-1)b)Karena Un = a + (n-1)b maka rumus diatas dapat dituliskan sebagai berikut :
Slide16Contoh 8. Tentukanlah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika jika diketahui u
1=10 dan u15=94?Jawab : Diketahui : a= u1 = 10U15= 94Ditanya :S15 = ?Jb:
Slide17Contoh.9 Tentukanlah jumlah dari deret berikut : 3+13+23+33+…+U
120. ?Penyelesaian:Diketahui: Deret aritmattika : 3+13+23+33+ + u120.Jb : a = 3, b=13-3=10
Slide18Contoh.3
Suku ke-9 dan suku ke-21 dari suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 12 dan 72. tentukanlah Jumlah 5 suku pertama deret tersebut ? Penyelesaian :Diketahui: u9=12, u21 =72Dit : S5=?Jb:
Slide19Menentukan U
n jika Rumus Sn diberikan.Dari materi sebelumnya telah diketahui bahwa :Sn = u1+u2+u3+ …+un-2+un-1 + unSn-1 = u1+u2+u3+ …+un-2+u
n-1 -Sn – Sn-1
= U
nJadi rumus suku ke-n dari deret tersebut adalah : Un = Sn – Sn-1
Slide20Contoh 1.
Tentukanlah suku ke-n dan beda dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dinyatakan dengan Sn=5n2+2n ?Penyelesaian :Diketahui : Sn=5n2 + 2nDit : Un=? Dan b=?Jb. Sn = 5n2+2n Sn-1 =5(n-1)2
+2(n-1) = 5(n2 – 2n + 1) + 2n – 2Sn-1 = 5n2
– 10n + 5 + 2n – 2 = 5n
2 – 8n + 3Un= Sn – Sn-1 = (5n2 + 2n) – (5n2 – 8n + 3) =10n – 3Jadi Un = 10n – 3b= Un – Un-1 = (10n – 3) – (10 (n-1) – 3) b= 10n – 3 – ( 10n – 10 – 3) = 10Jadi bedanya adalah b = 10
Slide21Slide22Slide23Slide24Slide25Slide26Slide27Slide28Slide29Slide30Slide31Slide32Slide33Banyak Jlh penduduk pada posisi awal (u
1=20000)1 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U2= 20000 + 0.1(20000) =1.1(20000)2 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U3= 1.1(20000) + 0.1(1.1(20000)) =1.21(20000)=(1.1)2(20000)3 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U4= (1.1)2 (20000) + 0.1((1.1)2 (20000)) =(1.1)3 (20000)...6 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U
7= …. Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 sama dengan U7= ….?
a = 20000, r =1.1(20000)/20000=1.1
U7=a.r6 = 20000.(1.1)6 = 20000.(1.771561) = 35431Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 adalah 35.431 orang.
Slide34Defenisi deret Geometri :
Jika u1, u2, u3, …., un merupakan barisan geometri maka penjumlahan dari u1 + u2 + u3 + ….. + un disebut deret geometri.Rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang ditulis dengan sn adalah : Jika u1 = a , u2 = ar, u3 = ar
2, un = ar(n-1) maka :
S
n = u1 +u2 + u3 + ….. + unDengan mensubstitusikan dengan suku – suku diatas, diperoleh :
Slide351. Jumlah suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan S
n= 3x2 + 5x – 3.tentukanlah suku ke-n dan beda dari barisan tersebut?2. Suatu barisan geometri diketahui sebagai berikut : 4,12,36,..., tentukanlah suku pertama, ratio, suku ke-6, dan suku ke-n dari barisan tersebut?3. Diketahui suku pertama dan ratio dari suatu barisan geometri sebagai berikut 32 dan 8, tentukanlah suku ke 5 dan suku ke-n dari barisan tersebut?
Slide36S
n = a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1r.Sn
= ar + ar2 + ar3
+ ... + ar
n-1 + arn - -(1 – r) Sn = a – arn
Dimana :
S
n
= jumlah n suku pertama
a = nilai suku pertama
r = Ratio / perbandingan
Slide37Untuk menghindari nilai negarif pada rumus diatas maka sebaiknya :
gunakan rumus :Dan rumus : Jika maka rumus diatas dapat dituliskan menjadi Sn= C.rn
- C
Slide38Contoh 16. Jumlah n suku pertama
Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret : 3 + 6 + 12 + …? Jawab : Dik : a = 3 r = 2 ; r>1 Dit : S8 = …? Jb.Jadi jumlah delapan suku pertama dari deret di atas adalah 765
Slide39Contoh 17. Jumlah n suku pertama
Jumlah adalah .Tentukanlah banyak suku dari deret ini.Jawab:Dik : a = r = ; r > 1 Sn = Dit : n = ...?Jb:
Slide40Jadi banyak sukunya adalah 6
Slide41Contoh 18. Jumlah n suku pertama
Jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan oleh Sn = 23n-1. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-n dari deret tersebut ?. Jawab : Sn = 23n-1 a = u1 = S1 = 23.1-1 = 23-1 = 8-1=7
Sn= C.rn - C
S
n = 1.8n – 1 ini berarti : r = 8 dan c = 1 Un = arn-1= 7.8n-1.Jadi diperoleh nilai suku pertama = 7, ratio = 8 dan rumus suku ke-n = 7.8n-1.
Slide42Deret Geometri takhingga.
Untuk -1<r<1Untuk harga -1<r<1, maka jumlah deret geometrinya sampai suku ke takhingga akan diperoleh sebagai berikut : Untuk maka harga , maka rumus diatas akan menjadi :
Slide432.
Untuk r < -1 dan r > 1 Untuk , maka nilai dari Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh :Jadi nilai dari jumlah suku tak hingga untuk r < -1 dan r > 1 adalah
Slide442. Untuk r < -1 dan r > 1
Untuk
, maka nilai dari
Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh :
Slide45Contoh 19. Deret geometri tak hingga konvergen
Tentukan jumlah deret tak hingga Jawab :
Dik : a = 3
Dit : Jb :
Slide46Slide47Slide48Slide49Slide50Slide51Slide52Soal ulangan harian :
Tentukanlah dua suku berikutnya dari barisan berikut ini:1, 3, 5, 7, …,….2, 8, 26, 80, …., ….1, 8, 27, 64, ….., ….2, 5, 7, 3, 6, 8, 4, ….,….11, 19, 27, 9, 17, 25, 7, …., ….Pola bilangan :
Tentukan bilangan berikutnya dari barisan belangan berikut ini : a. 100, 4, 90, 7, 80, … b. 5, 7,10, 12, 15, ….
c. 2, 4, 2, 4, 6, 8, 6, 8, 10, 8, ….
d. 9, 5, 1, 2, 10, 6, 2, 3, 11, 7, …. e. 1, 9, 2, 3, 9, 4, 5, 9, ….
Slide53Amatilah suku-suku dalam barisan berikut, Kemudian, tentukan suatu aturan rumus untuk suku ke-n dari barisan tersebut :
a. 1, 3, 9, 27,… b. 2, 5, 10, 17, 26, …. c. 2, 6, 12, 30, ….Tuliskan lima suku pertama dari masing-masing barisan aritmatika berikut : a. U1=4, dan b= b. U1=5, dan b = 20Gunakan suku umum berikut ini untuk menulis lima suku barisan :
a. Un=14+3n b. Un = 3,2-0,2n
Slide54Tentukan nilai n dari barian berikut ini :
a. Un = 27,9 dan Un = 6,9 + 1,4n b. Un = 63/4 dan Un = (23/4)+1/2(n)Tentukanlah nilai dari suku pertama dan beda dari barisan aritmatika berikut : a. U20 = 42 dan U10 = 32 b. U3 = 5 dan U
8 = -5Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret aritmatika berikut : a. n = 18 ; U
1
= 40 ; dan b = -7 b. n = 20 ; U1 = 100 ; dan b = -19. Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret aritmatika berikut : a. n = 16 ; 3+7++11+… b. n = 10 ; -8+(-4)+0+…
Slide5510. Tentukanlah jumlah suku dari barisan berikut :
a. 1+3+5+7+…=1156 b. 9+15+21+…=1518Hitunglah jumlah dari : a. Semua bilangan bulat positip diantara 200 dan 600 yang habis dibagi 4. b. Semua bilangan bulat positip diantara 1000 dan 1600 yang habis dibagi 3Tentukan Jumlah semua bilangan asli yang terdiri atas 2 angka dan habis dibagi 5
Slide56A.
Barisan AritmetikaDefinisi
Bilangan yang tetap tersebut disebut
beda
dan dilambangkan dengan b.Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ...Barisan aritmetika
adalah suatu
barisan
bilangan
yang
selisih
setiap
dua
suku
berturutan
selalu
merupakan
bilangan
tetap
(
konstan
).
Slide57Contoh :
1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.b. 2, 8, 14, 20, ...
+6 +6 +6
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau
b = 6.
Slide58c.
30, 25, 20, 15, ... –5 –5 –5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un
– Un – 1.
Slide59U1 = a U2 = U1 + b = a + b
U3 = U
2
+ b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b . . . Un = Un-1 + b = a + (n – 1)bJadi,
rumus suku
ke
-n
dari
barisan
aritmetika
adalah
Keterangan
:
U
n
=
suku
ke
-n
a =
suku
pertama
b =
beda
n =
banyak
suku
U
n
= a
+ (
n
– 1)
b
Slide60Contoh 1 :
Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawab: –3, 2, 7, 12, …Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b,
diperoleh :
Un = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.
Slide61Contoh 2 :
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.Jawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan Un = 40.
Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga; 40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
Slide62B. Deret Aritmetika
DefinisiDeret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D
. Dengan demikian, Dn
= U1 + U2 + U3 + ... + Un . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Dn , perhatikan contoh berikut :Misalkan U1,
U2,
U
3
, ...,
U
n
merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. D
n
=
U
1
+
U
2
+
U
3
+ ... +
U
n
disebut
deret
aritmetika
,
dengan
U
n
=
a
+ (
n
– 1)
b.
Slide63Contoh 1 :
Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14
D5
= 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2D5 = 5 x 16 D5 = D5 = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.
Slide64Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalahDn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2
+ Un-1 + Un.
Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.
Un-1 = Un – b Un-2 = Un-1 – b = Un – 2b Un-3 = Un-2 – b = Un – 3bDemikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un
-b) + Un…(1)
Slide65Persamaan
1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut
:
D
n= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + UnDn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a2Dn
= (a + Un ) + (a + U
n
)+ (a + U
n
) + ... + (a + U
n
)
n suku
Dengan demikian, 2D
n
= n(a + U
n
)
D
n
= (1/2) n(a + U
n
)
D
n
= (1/2) n(a + (a + (n – 1)b))
D
n
= (1/2) n(2a + (n – 1)b)
Slide66Jadi, rumus umum jumlah
n suku pertama deret aritmetika adalah Keterangan: Dn = jumlah n
suku pertama a = suku pertama
b
= beda Un = suku ke-n n = banyak suku Dn = (1/2) n(a + Un ) Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)
Slide67Contoh 2:
Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
D100 = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}
= 50 {4 + 198}
= 50 (202) = 10.100Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.
Slide68Contoh 3:
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un
= 99.Terlebih dahulu kita cari
n
sebagai berikut ; Un = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah
Slide69Slide70Soal – soal
Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika, 3, 8, 13, 18, …Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan aritmatika
berikut ini : a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, …
c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, …Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan aritmatika adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah Un dan DnTerdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku pertama adalah 9 dan
suku terakhir adalah 27. Tentukan
U
n
dan
D
n
Slide715. Carilah jumlah dari
a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama c. 60 bilangan bulat positif yang pertama
Slide72BARISAN GEOMETRI
DEFINISI: Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Bentuk umum
U
1, U2, U3, …, Un ataua, ar, ar
2
, …, ar
n-1
Slide73Bentuk
umum:U1, U2, U3, …, Un atau
a, ar, ar
2
, …, arn-1Jika diketahui suatu barisan geometri U1, U2, …, Un dan dimisalkan
U1 =
a
dengan
rasionya
r
maka
dapat
ditulis
:
U
1
= a
U
2
= U
1
.r =
a.r
= ar
2-1
U
3
= U
2
.r = (
ar
) r = ar
2
= ar
3-1
:
U
n
=
a.r.r
…r = ar
n-1
Slide74Rumus
suku ke-n barisan geometri
Misalkan terdapat suatu barisan geometri U1, U2, …, Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya
a
dan rasionya r adalah : Un = ar n-1 pada barisan geometri, berlaku
Slide751. Suku ketiga dan suku keenam dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 32 dan 2.048. Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri itu !
Jawab : U3 = 32 U6 = 2048
32 r
3=2048 r3=64 r=4 Misal : U3 = a . r2 32 = a . 42 a = 2
Slide763 buah bilangan a, b, dan c membentuk barisan geometri. Tunjukan bahwa sama dengan
Jawab :
Slide773.Suku pertama sebuah barisan geometri adalah , sedangkan suku keempatnya sama dengan . Tentukan rasio dan suku ke-enambelas dari barisan itu !
Jawab : = U4 = U4 = a . r3 = . r3 r3 =
r = =
Slide78U
16 = a . = . = . = . =
Slide794. Tentukan nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk pada :
a. Bilangan-bilangan di antara ¼ dan 8, disisipkan sebanyak 4 buah bilangan. b. Bilangan-bilangan di antara 2 dan 162, disisipkan sebanyak 3 buah bilangan, Jawab : a) x = ¼ , y = 8, dan k = 4(genap), maka nilai r hanya ada 1 kemungkinan :
Slide80Slide81Slide82Slide83Slide84Slide85Slide86PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET
Slide87Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.
Slide88Contoh 1:
Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9?Jawab:Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika. Suku awal a = 700.000 Beda b = 125.000 n = 9
Slide89Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut.
U = a + (n – 1)b U = 700.000 + (9 – 1) 125.000 = 700.000 + 1.000.000 = 1.700.000Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9
adalah Rp1.700.000,00.
Slide90Contoh 2:
Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1?Jawab:Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00.Pada akhir bulan ke-1Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ;Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01)
= 50.000(1 + 0,01) = 50.000(1,01)
Slide91Pada akhir bulan ke-2
Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diperoleh ; = 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01)Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi =50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 0,01) = 50.000(1,01)
Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01) .
Slide92Pada akhir bulan ke-3
Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01) (1 + 0,01) = 50.000(1,01) (1,01) = 50.000(1,01)Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01)(1,01) = 50.000(1,01) Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi
50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%) = 50.000(1,01)
Slide93Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah
50.000(1,01) + 50.000(1,01) + 50.000(1,01) Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12.Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3 + ... + 50.000(1,01)12 = 50.000{1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + ... + (1,01)12}Deret 1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12 merupakan deret geometridengan
a = 1,01, r
= 1,01, dan
n = 12.S
=
Slide94=
= 12,83Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah 50.000 {1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12} = 50.000 × 12,83 = 641.500Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah Rp641.500,00.