Podstawy automatyki I - studia stacjonarne - PowerPoint Presentation

Slide1

Podstawy automatyki I- studia stacjonarne

Wykład 10 - 11 - 2015/2016

Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Zera, bieguny – stabilność

(systemy liniowe stacjonarne)

- część II

Slide2

Kryterium Nyquista

Cecha charakterystyczna kryterium Nyquist’a

Analiza stabilności systemu zamkniętego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym wyjścia prowadzona jest w oparciu charakterystyki częstotliwościowe (wykres Nyquista, wykresy Bode’a) transmitancji systemu otwartego

Harry Nyquist (ur. 7 lutego 1889r., Nilsby, Szwecja, zm. 4 kwietnia 1976r. Harlingen, Teksas), elektrotechnik amerykański pochodzenia szwedzkiego. Wieloletni pracownik Bell Telephone Laboratories. Twórca kryterium do badania stabilności układów sterowania. Prowadził prace z automatyki. /Wikipedia/

Slide3

stabilność układu zamkniętego

stabilność układu otwartego

Transmitancja układu otwartego

Równanie charakterystyczne

układu otwartego

Transmitancja

układu zamkniętego

Równanie charakterystyczne

układu zamkniętego

Układ otwarty – układ zamknięty

Slide4

W oparciu o wyniki przedstawione na poprzednim wykładzie możemy twierdzić:

1. Zera układu zamkniętego

G

z

(s)

są takie same jak

z

era układu otwartego

G

o

(s)

Układ otwarty – układ zamknięty

Slide5

Układ otwarty – układ zamknięty

2. Bieguny

1

+ G

o

(s)

są też biegunami transmitancji układu otwartego

G

o

(s)

,

Slide6

Układ otwarty – układ zamknięty

3. Zera

1 +

G

o

(s)

są biegunami

transmitancji układu zamkniętego

G

z

(s)

,

a zatem pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego

Slide7

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Odwzorowanie punktów pomiędzy dwoma płaszczyznami zespolonymi

Kryterium

Nyquist’a

opiera się na zasadzie argumentu

Cauchy’ego

związanej z odwzorowaniami

zespolonymi

Transmitancje

są odwzorowaniami zespolonymi

Slide8

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Skupimy uwagę na odwzorowaniach postaci

Odwzorowanie konturów (krzywej zamkniętej) pomiędzy dwoma płaszczyznami zespolonymi

i prześledźmy

zagadnienie:

Slide9

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Odwzorowanie konturu wskazanego na s-płaszczyźnie może odbywać się przy przemieszczaniu się po nim punktu s na nim:

1. w prawo - zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara – ujemna zmiana kąta wektora wodzącego, albo 2. w lewo - przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara – dodatnia zmiana kąta wektora wodzącego

Przyjmiemy konwencję

W PRAWO

Slide10

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Ponieważ kryterium Nyquist’a jest metodą graficzną należy ustalić rozumienie pewnych

używanych w nim i związanych z nim pojęć graficznychPunkt obejmowany i okrążany przez kontur



Obejmowany

– Będziemy mówili, że punkt jest obejmowany przez kontur (krzywą zamkniętą), jeżeli znajduje się on wewnątrz tego konturu

Punkt A jest obejmowany przez kontur

Γ

, ponieważ A znajduje się wewnątrz konturu

Γ

Punkt B nie jest obejmowany przez kontur

Γ

, ponieważ B znajduje się na zewnątrz konturu

Γ

Slide11

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

 Okrążany – Będziemy mówili, że punkt lub obszar jest okrążany przez kontur, jeżeli leży on po prawej stronie konturu przy jego przechodzeniu

w przypisanym kierunku Punkt A jest okrążany przez konturem

Slide12

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Kiedy punkt jest okrążany przez kontur , przypisujemy liczbę N liczbie tych okrążeń

Okrążeniu zgodnemu z ruchem wskazówek zegara przypisuje się wartość -1Okrążeniu przeciwnemu do ruchu wskazówek zegara przypisuje się wartość 1

Slide13

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Praktyczny sposób określania liczby

okrążeń – na przykładzie początku układu współrzędnych G-płaszczyzny

Slide14

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Pytania

- przy obieganiu przez s konturu Γs na s-płaszczyźnie w prawo w jakim kierunku będzie obiegał G(s) kontur

Γ

G

na

G-płaszczyźnie

?

- jak będzie umiejscowiony kontur

Γ

G

na

G-płaszczyźnie

w zależności od tego, czy kontur

Γ

s

na

s-płaszczyźnie obejmuje na niej, czy też nie obejmuje jakieś zera lub bieguny odwzorowania G(s)?

Slide15

1. Kontur ΓG okrąża początek układu współrzędnych

G-płaszczyzny wtedy, i tylko wtedy, gdy kontur Γs na s-płaszczyźnie obejmuje na tej płaszczyźnie jakiekolwiek zero lub jakikolwiek biegun odwzorowania G

Zachodzi:2a. Jeżeli kontur Γ

s

okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara biegun (P=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur

Γ

G

okrąża raz początek układu współrzędnych

G-płaszczyzny

w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (N=1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi 2

π

2b. Jeżeli kontur

Γ

s

okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara zero (Z=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur

Γ

G

okrąża raz początek układu współrzędnych

G-płaszczyzny

w kierunku zgodnym do ruchu wskazówek zegara (N=-1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi -2

π

Podstawy i konwencje kryterium

Nyquist’a

Slide16

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Ilustracja

do zasad z poprzedniego slajdy

Slide17

Ilustracja do zasad z poprzedniego slajdy

Podstawy i konwencje kryterium

Nyquist’a

Slide18

Podstawy i konwencje kryterium Nyquist’a

Uogólnienie:

Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara Z zer i P biegunów odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża początek układu współrzędnych

G-płaszczyzny

N=P-Z

razy, przy czym jeżeli N>0 to w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a jeżeli N<0 to w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara

Zasada

argumentu

Cauchy’ego

Slide19

Kryterium Nyquista bazuje na zasadzie argumentu Cauchy’ego

(analiza zespolona)Niech G(s)

będzie funkcją zmiennej zespolonej s, analityczną (różniczkowalną względem zmiennej zespolonej) w pewnym obszarze s-płaszczyzny, co najwyżej z wyjątkiem skończonej liczby punktów. Załóżmy, że pewien kontur Γs został wybrany na s-płaszczyźnie w taki sposób, że wszystkie jego punkty są analityczne. Kontur ΓG uzyskany na

G-płaszczyźnie

z odwzorowania konturu

Γ

s

funkcją

G(s)

, będzie okrążał początek układu współrzędnych

G-płaszczyzny

tyle razy, ile wynosi różnica liczby biegunów i liczby zer funkcji

G(s)

, które są obejmowane przez kontur

Γ

s

N = P - Z

gdzie

Z

jest liczbą zer

G(s)

obejmowanych przez

Γ

s

,

P

jest liczba biegunów

G(s)

obejmowanych przez

Γ

s

, a

N

jest liczbą okrążeń przez

Γ

G

początku układu współrzędnych

G-płaszczyzny

Podstawy i konwencje kryterium

Nyquist’a

Slide20

Konstrukcja kryterium Nyquist’a

Jak określić kontur Γs jeżeli interesuje nas badanie stabilności?

Kontur Γs powinien obejmować całą prawą półpłaszczyznę płaszczyzny zmiennej zespolonej s wraz z osią urojoną z wyłączeniem co najwyżej skończonej liczby jej punktów – kontur ten będziemy nazywali konturem

Nyquist’a

lub D-konturem

Slide21

Konstrukcja kryterium Nyquist’a

Przypadek kiedy bieguny lub zera układu

leżą w początku układu współrzędnych płaszczyzny s lub na osi urojonejSposób postępowania (jeden z możliwych)

Modyfikujemy kontur Nyquist’a tak, aby obejść biegun lub zero jako położony w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s – obchodzimy go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu  położonym w prawej półpłaszczyźnie

Slide22

Konstrukcja kryterium Nyquist’a

Kontur

NyquistaWykres Nyquista (wykreślanie wykresu transmitancji układu otwartego

dla określenia

stabilności układu zamkniętego)

Punktem krytycznym staje się punkt (-1, j0) zamiast punktu (0,j0)

Wykres

Cauchy’ego

Kryterium

Nyquista

bazuje na odwzorowaniu konturu

Nyquista

w wykres

Nyquista

układu otwartego

Slide23

Problem stabilności – kryterium Nyquist’a

1. Czy układ zamknięty posiada bieguny w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s?

Bieguny transmitancji układu zamkniętego Gz(s) są zerami

M(s)=1+G

o

(s)

Wiemy: (patrz początek materiału)

2. Czy

M(s)=1+G

o

(s)

posiada zera w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s?

 Korzystając z zasady argumentu możemy twierdzić, że liczba tych zer wynosi:

Z = P - N

3. Aby układ zamknięty był stabilny: Z=0 lub P=N

Slide24

Przypomnijmy co reprezentują w tym ujęciu Z, P oraz N?

Z – liczba zer M(s)=1+Go(s)

w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. Dla stabilnego układu zamkniętego Z musi być równe zeroP – liczba biegunów M(s)=1+G

o

(s)

w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny

. P może być określone wprost lub z kryterium Routh’a

N –

liczba okrążeń charakterystyki Nyquista układu otwartego punktu (-1,j0).

Okrążenia przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara są dodatnie, zgodne w kierunkiem ruchu wskazówek zegara są ujemne

Problem stabilności – kryterium

Nyquist’a

Slide25

Problem stabilności – kryterium Nyquist’a

Kryterium Nyquista można sformułować następująco

Aby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego Go(s)=G(s)H(s) powinien okrążać punkt (-1, j0) tyle razy ile biegunów układu otwartego leży w prawej półpłaszczyźnie zespolonej s; okrążenia wykresu

Nyquist’a

punktu (-1,j0), jeżeli istnieją powinny być w kierunku przeciwnym do kierunku konturu

Nyquist’a

Kryterium

Nyquista

dla bardzo częstego przypadku kiedy P=0 - liczba biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej wynosi zero, tzn. kiedy układ otwarty jest stabilny

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, P=0, to aby układ zamknięty był stabilny, wykres

Nyquist’a

układu otwartego G

o

(s)=G(s)H(s) nie powinien obejmować punktu (-1, j0)

Slide26

Problem stabilności – kryterium Nyquist’a

Podsumowanie - kryterium Nyquista

 Problem: Czy funkcja wymierna 1 + Go(s) ma, czy też nie ma zer w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s?

 Rozwiązanie: Wykorzystanie zasady argumentu Cachy’ego

Podstawienie

 Ułatwienie: Wykorzystanie charakterystyki układu otwartego i punktu (-1,j0) jako punktu krytycznego

Slide27

Przykłady

Przykład 1

Rozważmy

Czy układ zamknięty jest stabilny?

A jeżeli?

P=0, N=0; Z=P-N=0

Slide28

Przykłady

K=1 -2.7100

-0.1450 + 1.4809i-0.1450 - 1.4809i K=10 -.6840 0.8420 + 3.1905i

0.8420 - 3.1905i

P=0, N=0; Z=P-N=0

P=0, N=-2; Z=P-N=2

Slide29

Przykłady

Slide30

Przykłady

Przykład 2Rozważmy

Czy układ zamknięty jest stabilny?A jeżeli?

P=0, N=0; Z=P-N=0

Slide31

Przykłady

K=1

-1.0000 + 2.2361i -1.0000 - 2.2361i K=5 -1.0000 + 5.0000i-1.0000 - 5.0000i

K=10

-1.0000 + 7.0711i

-1.0000 - 7.0711i

P=0, N=0; Z=P-N=0

P=0, N=0; Z=P-N=0

P=0, N=0; Z=P-N=0

Slide32

Przykłady

Slide33

Przykłady

Przykład 3

RozważmyCzy układ zamknięty jest stabilny?

A jeżeli?

P=0, N=0; Z=P-N=0

Slide34

Przykłady

K=1

-5.2737 -0.8631 + 1.0729i -0.8631 - 1.0729i K=10 -6.5964 -0.2018 + 2.8805i

-0.2018 - 2.8805i

K=20

-7.4235

0.2118 + 3.7549i

0.2118 - 3.7549i

P=0, N=0; Z=P-N=0

P=0, N=0; Z=P-N=0

P=0, N=-2; Z=P-N=2

Slide35

Przykłady

Slide36

Przykłady

K=1

-0.5000 + 2.1794i -0.5000 - 2.1794i K=2 -0.5000 + 3.1225i-0.5000 - 3.1225i

K=5

-0.5000+ 4.9749i

-0.5000 - 4.9749i

P=0, N=0; Z=P-N=0

P=0, N=0; Z=P-N=0

P=0, N=0; Z=P-N=0

Przykład 4

Slide37

Przykłady

Slide38

Przykłady

Przykład 5

Slide39

Przykłady

K=0.5

-2.0929 0.0465 + 1.0919i 0.0465 - 1.0919i K=2

-2.8675

0.4337 + 1.8164i

0.4337 - 1.8164i

K=3

-3.1739

0.5870 + 2.0932i

0.5870 - 2.0932i

K=5

-3.6258

0.8129 + 2.4968i

0.8129 - 2.4968i

P=0, N=-2; Z=P-N=2

Dla wszystkich przypadków:

Slide40

Przykłady

Slide41

Przykłady

Przykład 6

P =0, N = 0; Z=P-N=0

Slide42

Przykłady

P =1, N = -1; Z=P-N=2

Przykład 7

Slide43

Przykłady

K=1

-5.0329 0.7773 0.2556 K=5 -5.1574 0.5787 + 0.7966i 0.5787 - 0.7966i

K=10

-5.2995

0.6498 + 1.2103i

0.6498 - 1.2103i

Slide44

Przykłady

Slide45

Przykłady

Przykład 8

P =1, N = 1; Z=P-N=0

Slide46

Przykłady

-0.5000 + 0.8660i

-0.5000 - 0.8660i

Slide47

Przykłady

Slide48

Zapas stabilności

Istnieje potrzeba określania w jakim stopniu układ jest stabilny – jak daleko znajduje się od punktu w którym stanie się niestabilnyUżyteczne idee

 zapas modułu (wzmocnienia) – gm

(2-6)

 zapas fazy – 

m

(45

o

– 60

o

)

Obydwie miary określają bliskość wykresu

Nyquist’a

od punktu krytycznego

(-1

, j0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Slide49

Zapas stabilności

 Jeżeli moduł transmitancji układu otwartego, stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym przesunięciu fazowemu –180

o wynosi  to zapas modułu (wzmocnienia) wynosi gm

= 1/

Zapas modułu (wzmocnienia) – g

m

Slide50

Zapas stabilności

Zapas fazy – m

 Jeżeli przesuniecie fazowe transmitancji układu otwartego stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym modułowi o wartości 1 wynosi  to zapas fazy wynosi m = 

Slide51

Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu