Barisan dan Deret Secara umum barisan dapat dituliskan sbb : - PowerPoint Presentation

Slide1

Barisan dan Deret

Slide2

Secara umum barisan dapat dituliskan sbb :

u1, u2, u3, u4, . . . . , unDimana :U1 = Suku pertamaU2 = Suku kedua..Un=Suku ke-n

Pengertian Barisan

Barisan adalah kumpulan dari beberapa bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu.

Slide3

Defenisi

deretPenjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deretJika barisan bilangan dinyatakan

dengan : u1, u

2

, u3, u4, . . . .,un-1 , unMaka deret bilangan tersebut dapat dituliskan sbb :Contoh :1. Deret bilangan asli : 1+2+3+4+5+…2. Deret Bilanga Prima : 2+3+5+7+11+…3. dll

U

1

+u

2

+ u

3

+ u

4

+ . . . .+u

n-1

+u

n

Slide4

Menentukan rumus suku ke-n!

Contoh 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut : 2, 4, 8, 16 ?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!U1= 2 = 21U2= 4 = 22U3= 8 = 23U

4 =16 = 24Jadi dari pola diatas dapat disimpulkan bahwa : un = 2n

Slide5

Contoh

2. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut :

1.2, 2.3,

3.4,

4.5,…?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!u1=1.2=1.(1+1)U2=2.3=2.(2+1)U3=3.4=3.(3+1)U4=4.5=4.(4+1)Jadi dari pengamata diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah Un=n.(n+1)

Slide6

Cotoh

3. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut ini: 2,5,8,11,…Jawab :Gunakan pengamatan anda

dan tentukan suatu aturan

atau

rumus untuk suu ke-n!u1=2=2+(1-1).3=3.1-1U2=5=2+(2-1).3=3.2-1U3=8=2+(3-1).3=3.3-1U4=11=2+(4-1).3=3.4-1Jadi dari hasil pengamatan diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah : un=2+(n-1).3 atau un

=3n-1

Slide7

Contoh

4. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 30,28,26,24,…?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n!U1=30=30-(1-1).2=32-2.1U

2=28=30-(2-1).2=32-2.2U3=26=30-(3-1).2=32-2.3U

4

=24=30-(4-1).2=32-2.4Jadi dari hasil diatas dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah un=30 – (n-1).2 atau un=32-2n

Slide8

Contoh

5. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 1,4,9,16,…?Jawab :Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suku ke-n!U1=1=1.1=12

U2=4=2.2=22U

3

=9=3.3=32U4=16=4.4=42Jadi dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah : Un=n2

Slide9

2. Barisandan deret aritmatika

Defenisi Barisan aritmatika:Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu

barisan dengan suku sebelumnya

adalah suatu bilangan tetap (b). Maka barisan ini adalah barisan Aritmatika. Bilangan tetap b disebut sebagai beda dari barisan . Secara umum jika : u1, u2, u3, u4, . . . . , un , adalah Barisan aritmatika

jikadan hanya jika

u

2

-u

1

=u

3

-u

2

=u

4

-u

3

=…=u

n

-

u

n-1

=

b

Contoh

:

barian

bilangan

asli

: 1,2,3,4,…

Dimana

: 2-1=3-2=4-3=5-4=…=1=b

Slide10

Rumus

Suku ke-n dari barisan aritmatika ?Jika barisan aritmatika dinyatakan dengan : u1, u2, u3

, u4, . . . . , un yang memiliki beda

sebesar b maka suku ke-n dapat dinyatakan dengan : Un=u1+(n-1)b Dimana b= un-un-1

Slide11

Contoh6. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan aritmatika berikut : 2,5,8,11,…?

Jawab :Dik: barisan : 2,5,8,11,… U1=2 U2=5Dit : U10= ?Jawab :

b= u2-u1=5-2 =3

U

n= u1 + (n-1)bU10=2 +(10-1)3U10 = 2 + 9.3U10 = 2 + 27U10 = 29

Slide12

Rumus menentukan beda untuk barisan aritmatika ?

Jika dua suku yang berbeda dikitahui misalnya : um dan un dimana n>m maka besarnya beda dapat ditentukan

sbb:

Contoh

7. Tentukanlah beda dan u20 dari barisan aritmatika jika diketahui u10=24 dan u5 =9 ?Jawab :

Slide13

Jawab : U1= u5 – (5-1).3U1= 9 – 4.3 = 9 - 12a=U1= - 3U20 = -3 + (20-1).3 = -3 + 19.3

U20 = -3 + 57U20 = 54

Slide14

Defenisi

deret aritmatika : Jika u1, u2, u3, …., un merupakan barisan aritmatika maka penjumlahan dari u1 + u2

+ u3 + ….. + un disebut deret

aritmatika

.Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika yang ditulis dengan sn adalah : Jika u1 = a , u2 = a + b, u3 = a + 2b, un = a + (n-1)b maka :Sn = u1 +u2 + u3 + ….. + unDengan menggantikan

Slide15

U

1 = a, u2 = a+b, u3 = a+2b, un-1 = a+(n-2)b, dan un = a+(n-1)b. maka diperoleh :Sn = a+(a+b)+(a+2b)+…+(a+(n-1)b)Sn=(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+(a+(n-3)b)+…+a2S

n=(2a+(n-1)b)+(2a+(n-1)b)+(2a+(n-1)b)+…+(2a+(n-1)b) nx

2S

n=n.(2a+(n-1)b)Karena Un = a + (n-1)b maka rumus diatas dapat dituliskan sebagai berikut :

Slide16

Contoh 8. Tentukanlah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika jika diketahui u

1=10 dan u15=94?Jawab : Diketahui : a= u1 = 10U15= 94Ditanya :S15 = ?Jb:

Slide17

Contoh.9 Tentukanlah jumlah dari deret berikut : 3+13+23+33+…+U

120. ?Penyelesaian:Diketahui: Deret aritmattika : 3+13+23+33+ + u120.Jb : a = 3, b=13-3=10

Slide18

Contoh.3

Suku ke-9 dan suku ke-21 dari suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 12 dan 72. tentukanlah Jumlah 5 suku pertama deret tersebut ? Penyelesaian :Diketahui: u9=12, u21 =72Dit : S5=?Jb:

Slide19

Menentukan U

n jika Rumus Sn diberikan.Dari materi sebelumnya telah diketahui bahwa :Sn = u1+u2+u3+ …+un-2+un-1 + unSn-1 = u1+u2+u3+ …+un-2+u

n-1 -Sn – Sn-1

= U

nJadi rumus suku ke-n dari deret tersebut adalah : Un = Sn – Sn-1

Slide20

Contoh 1.

Tentukanlah suku ke-n dan beda dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dinyatakan dengan Sn=5n2+2n ?Penyelesaian :Diketahui : Sn=5n2 + 2nDit : Un=? Dan b=?Jb. Sn = 5n2+2n Sn-1 =5(n-1)2

+2(n-1) = 5(n2 – 2n + 1) + 2n – 2Sn-1 = 5n2

– 10n + 5 + 2n – 2 = 5n

2 – 8n + 3Un= Sn – Sn-1 = (5n2 + 2n) – (5n2 – 8n + 3) =10n – 3Jadi Un = 10n – 3b= Un – Un-1 = (10n – 3) – (10 (n-1) – 3) b= 10n – 3 – ( 10n – 10 – 3) = 10Jadi bedanya adalah b = 10

Slide21

Slide22

Slide23

Slide24

Slide25

Slide26

Slide27

Slide28

Slide29

Slide30

Slide31

Slide32

Slide33

Banyak Jlh penduduk pada posisi awal (u

1=20000)1 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U2= 20000 + 0.1(20000) =1.1(20000)2 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U3= 1.1(20000) + 0.1(1.1(20000)) =1.21(20000)=(1.1)2(20000)3 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U4= (1.1)2 (20000) + 0.1((1.1)2 (20000)) =(1.1)3 (20000)...6 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U

7= …. Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 sama dengan U7= ….?

a = 20000, r =1.1(20000)/20000=1.1

U7=a.r6 = 20000.(1.1)6 = 20000.(1.771561) = 35431Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 adalah 35.431 orang.

Slide34

Defenisi deret Geometri :

Jika u1, u2, u3, …., un merupakan barisan geometri maka penjumlahan dari u1 + u2 + u3 + ….. + un disebut deret geometri.Rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang ditulis dengan sn adalah : Jika u1 = a , u2 = ar, u3 = ar

2, un = ar(n-1) maka :

S

n = u1 +u2 + u3 + ….. + unDengan mensubstitusikan dengan suku – suku diatas, diperoleh :

Slide35

1. Jumlah suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan S

n= 3x2 + 5x – 3.tentukanlah suku ke-n dan beda dari barisan tersebut?2. Suatu barisan geometri diketahui sebagai berikut : 4,12,36,..., tentukanlah suku pertama, ratio, suku ke-6, dan suku ke-n dari barisan tersebut?3. Diketahui suku pertama dan ratio dari suatu barisan geometri sebagai berikut 32 dan 8, tentukanlah suku ke 5 dan suku ke-n dari barisan tersebut?

Slide36

S

n = a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1r.Sn

= ar + ar2 + ar3

+ ... + ar

n-1 + arn - -(1 – r) Sn = a – arn

Dimana :

S

n

= jumlah n suku pertama

a = nilai suku pertama

r = Ratio / perbandingan

Slide37

Untuk menghindari nilai negarif pada rumus diatas maka sebaiknya :

gunakan rumus :Dan rumus : Jika maka rumus diatas dapat dituliskan menjadi Sn= C.rn

- C

Slide38

Contoh 16. Jumlah n suku pertama

Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret : 3 + 6 + 12 + …? Jawab : Dik : a = 3 r = 2 ; r>1 Dit : S8 = …? Jb.Jadi jumlah delapan suku pertama dari deret di atas adalah 765

Slide39

Contoh 17. Jumlah n suku pertama

Jumlah adalah .Tentukanlah banyak suku dari deret ini.Jawab:Dik : a = r = ; r > 1 Sn = Dit : n = ...?Jb:

Slide40

Jadi banyak sukunya adalah 6

Slide41

Contoh 18. Jumlah n suku pertama

Jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan oleh Sn = 23n-1. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-n dari deret tersebut ?. Jawab : Sn = 23n-1 a = u1 = S1 = 23.1-1 = 23-1 = 8-1=7

Sn= C.rn - C

S

n = 1.8n – 1 ini berarti : r = 8 dan c = 1 Un = arn-1= 7.8n-1.Jadi diperoleh nilai suku pertama = 7, ratio = 8 dan rumus suku ke-n = 7.8n-1.

Slide42

Deret Geometri takhingga.

Untuk -1<r<1Untuk harga -1<r<1, maka jumlah deret geometrinya sampai suku ke takhingga akan diperoleh sebagai berikut : Untuk maka harga , maka rumus diatas akan menjadi :

Slide43

2.

Untuk r < -1 dan r > 1 Untuk , maka nilai dari Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh :Jadi nilai dari jumlah suku tak hingga untuk r < -1 dan r > 1 adalah

Slide44

2. Untuk r < -1 dan r > 1

Untuk

, maka nilai dari

Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh :

Slide45

Contoh 19. Deret geometri tak hingga konvergen

Tentukan jumlah deret tak hingga Jawab :

Dik : a = 3

Dit : Jb :

Slide46

Slide47

Slide48

Slide49

Slide50

Slide51

Slide52

Soal ulangan harian :

Tentukanlah dua suku berikutnya dari barisan berikut ini:1, 3, 5, 7, …,….2, 8, 26, 80, …., ….1, 8, 27, 64, ….., ….2, 5, 7, 3, 6, 8, 4, ….,….11, 19, 27, 9, 17, 25, 7, …., ….Pola bilangan :

Tentukan bilangan berikutnya dari barisan belangan berikut ini : a. 100, 4, 90, 7, 80, … b. 5, 7,10, 12, 15, ….

c. 2, 4, 2, 4, 6, 8, 6, 8, 10, 8, ….

d. 9, 5, 1, 2, 10, 6, 2, 3, 11, 7, …. e. 1, 9, 2, 3, 9, 4, 5, 9, ….

Slide53

Amatilah suku-suku dalam barisan berikut, Kemudian, tentukan suatu aturan rumus untuk suku ke-n dari barisan tersebut :

a. 1, 3, 9, 27,… b. 2, 5, 10, 17, 26, …. c. 2, 6, 12, 30, ….Tuliskan lima suku pertama dari masing-masing barisan aritmatika berikut : a. U1=4, dan b= b. U1=5, dan b = 20Gunakan suku umum berikut ini untuk menulis lima suku barisan :

a. Un=14+3n b. Un = 3,2-0,2n

Slide54

Tentukan nilai n dari barian berikut ini :

a. Un = 27,9 dan Un = 6,9 + 1,4n b. Un = 63/4 dan Un = (23/4)+1/2(n)Tentukanlah nilai dari suku pertama dan beda dari barisan aritmatika berikut : a. U20 = 42 dan U10 = 32 b. U3 = 5 dan U

8 = -5Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret aritmatika berikut : a. n = 18 ; U

1

= 40 ; dan b = -7 b. n = 20 ; U1 = 100 ; dan b = -19. Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret aritmatika berikut : a. n = 16 ; 3+7++11+… b. n = 10 ; -8+(-4)+0+…

Slide55

10. Tentukanlah jumlah suku dari barisan berikut :

a. 1+3+5+7+…=1156 b. 9+15+21+…=1518Hitunglah jumlah dari : a. Semua bilangan bulat positip diantara 200 dan 600 yang habis dibagi 4. b. Semua bilangan bulat positip diantara 1000 dan 1600 yang habis dibagi 3Tentukan Jumlah semua bilangan asli yang terdiri atas 2 angka dan habis dibagi 5

Slide56

A.

Barisan AritmetikaDefinisi

Bilangan yang tetap tersebut disebut

beda

dan dilambangkan dengan b.Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ...Barisan aritmetika

adalah suatu

barisan

bilangan

yang

selisih

setiap

dua

suku

berturutan

selalu

merupakan

bilangan

tetap

(

konstan

).

Slide57

Contoh :

1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.b. 2, 8, 14, 20, ...

+6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau

b = 6.

Slide58

c.

30, 25, 20, 15, ... –5 –5 –5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un

– Un – 1.

Slide59

U1 = a U2 = U1 + b = a + b

U3 = U

2

+ b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b . . . Un = Un-1 + b = a + (n – 1)bJadi,

rumus suku

ke

-n

dari

barisan

aritmetika

adalah

Keterangan

:

U

n

=

suku

ke

-n

a =

suku

pertama

b =

beda

n =

banyak

suku

U

n

= a

+ (

n

– 1)

b

Slide60

Contoh 1 :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawab: –3, 2, 7, 12, …Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b,

diperoleh :

Un = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Slide61

Contoh 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.Jawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan Un = 40.

Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga; 40 = –2 + (n – 1)3

40 = 3n – 5

3n = 45Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Slide62

B. Deret Aritmetika

DefinisiDeret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D

. Dengan demikian, Dn

= U1 + U2 + U3 + ... + Un . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Dn , perhatikan contoh berikut :Misalkan U1,

U2,

U

3

, ...,

U

n

merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. D

n

=

U

1

+

U

2

+

U

3

+ ... +

U

n

disebut

deret

aritmetika

,

dengan

U

n

=

a

+ (

n

– 1)

b.

Slide63

Contoh 1 :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14

D5

= 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2D5 = 5 x 16 D5 = D5 = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Slide64

Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalahDn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2

+ Un-1 + Un.

Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

Un-1 = Un – b Un-2 = Un-1 – b = Un – 2b Un-3 = Un-2 – b = Un – 3bDemikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un

-b) + Un…(1)

Slide65

Persamaan

1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut

:

D

n= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + UnDn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a2Dn

= (a + Un ) + (a + U

n

)+ (a + U

n

) + ... + (a + U

n

)

n suku

Dengan demikian, 2D

n

= n(a + U

n

)

D

n

= (1/2) n(a + U

n

)

D

n

= (1/2) n(a + (a + (n – 1)b))

D

n

= (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Slide66

Jadi, rumus umum jumlah

n suku pertama deret aritmetika adalah Keterangan: Dn = jumlah n

suku pertama a = suku pertama

b

= beda Un = suku ke-n n = banyak suku Dn = (1/2) n(a + Un ) Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Slide67

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

D100 = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}

= 50 (202) = 10.100Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

Slide68

Contoh 3:

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un

= 99.Terlebih dahulu kita cari

n

sebagai berikut ; Un = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah

Slide69

Slide70

Soal – soal

Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika, 3, 8, 13, 18, …Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan aritmatika

berikut ini : a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, …

c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, …Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan aritmatika adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah Un dan DnTerdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku pertama adalah 9 dan

suku terakhir adalah 27. Tentukan

U

n

dan

D

n

Slide71

5. Carilah jumlah dari

a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama c. 60 bilangan bulat positif yang pertama

Slide72

BARISAN GEOMETRI

DEFINISI: Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Bentuk umum

U

1, U2, U3, …, Un ataua, ar, ar

2

, …, ar

n-1

Slide73

Bentuk

umum:U1, U2, U3, …, Un atau

a, ar, ar

2

, …, arn-1Jika diketahui suatu barisan geometri U1, U2, …, Un dan dimisalkan

U1 =

a

dengan

rasionya

r

maka

dapat

ditulis

:

U

1

= a

U

2

= U

1

.r =

a.r

= ar

2-1

U

3

= U

2

.r = (

ar

) r = ar

2

= ar

3-1

:

U

n

=

a.r.r

…r = ar

n-1

Slide74

Rumus

suku ke-n barisan geometri

Misalkan terdapat suatu barisan geometri U1, U2, …, Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya

a

dan rasionya r adalah : Un = ar n-1 pada barisan geometri, berlaku

Slide75

1. Suku ketiga dan suku keenam dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 32 dan 2.048. Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri itu !

Jawab : U3 = 32 U6 = 2048

32 r

3=2048 r3=64 r=4 Misal : U3 = a . r2 32 = a . 42 a = 2

Slide76

3 buah bilangan a, b, dan c membentuk barisan geometri. Tunjukan bahwa sama dengan

Jawab :

Slide77

3.Suku pertama sebuah barisan geometri adalah , sedangkan suku keempatnya sama dengan . Tentukan rasio dan suku ke-enambelas dari barisan itu !

Jawab : = U4 = U4 = a . r3 = . r3 r3 =

r = =

Slide78

U

16 = a . = . = . = . =

Slide79

4. Tentukan nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk pada :

a. Bilangan-bilangan di antara ¼ dan 8, disisipkan sebanyak 4 buah bilangan. b. Bilangan-bilangan di antara 2 dan 162, disisipkan sebanyak 3 buah bilangan, Jawab : a) x = ¼ , y = 8, dan k = 4(genap), maka nilai r hanya ada 1 kemungkinan :

Slide80

Slide81

Slide82

Slide83

Slide84

Slide85

Slide86

PENERAPAN KONSEP BARISAN DAN DERET

Slide87

Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

Slide88

Contoh 1:

Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp700.000,00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9?Jawab:Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika. Suku awal a = 700.000 Beda b = 125.000 n = 9

Slide89

Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut.

U = a + (n – 1)b U = 700.000 + (9 – 1) 125.000 = 700.000 + 1.000.000 = 1.700.000Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9

adalah Rp1.700.000,00.

Slide90

Contoh 2:

Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1?Jawab:Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00.Pada akhir bulan ke-1Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ;Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01)

= 50.000(1 + 0,01) = 50.000(1,01)

Slide91

Pada akhir bulan ke-2

Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diperoleh ; = 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01)Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi =50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 0,01) = 50.000(1,01)

Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01) .

Slide92

Pada akhir bulan ke-3

Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01) (1 + 0,01) = 50.000(1,01) (1,01) = 50.000(1,01)Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%) = 50.000(1,01)(1 + 0,01) = 50.000(1,01)(1,01) = 50.000(1,01) Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi

50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%) = 50.000(1,01)

Slide93

Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah

50.000(1,01) + 50.000(1,01) + 50.000(1,01) Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12.Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah 50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3 + ... + 50.000(1,01)12 = 50.000{1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + ... + (1,01)12}Deret 1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12 merupakan deret geometridengan

a = 1,01, r

= 1,01, dan

n = 12.S

=

Slide94

=

= 12,83Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah 50.000 {1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12} = 50.000 × 12,83 = 641.500Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah Rp641.500,00.