Elementos de un modelo de optimización Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales Se dispone de 8 piezas pequeñas y 6 piezas grandes que son utilizadas para elaborar sillas usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande y mesas ID: 759845
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Slide1
Programación
10-Marzo-11
Slide2Elementos
de un modelo de optimización
.
Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo).
Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada.
Slide3Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar:
4 sillas, que reportan una utilidad de U$60
1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55
3 mesas, utilidad de U$60
1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65
2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70
etc.
Slide4Un
modelo matemático
para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres componentes básicas:
i)
Las variables de decisión
, que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo,
x
: número de sillas elaboradas.
y
: número de mesas elaboradas.
Slide5ii)
La función objetivo
del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por:
z = f(x,y) = 15x + 20y
Slide6iii)
Restricciones del problema
, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas:
Piezas pequeñas:
2x + 2y
8
Piezas grandes :
x + 2y
6
También se impone restricciones de no – negatividad:
x,y
0
Slide7En resumen:
Max 15x + 20y
sa: 2x + 2y
8
x + 2y
6
x,y
0
El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal. Si además restringimos los valores de
x
e
y
a números enteros, tendríamos un modelo de Programación Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a escala, deberíamos emplear una función objetivo no lineal como
f(x,y) = cx
a
+ dy
b
con
a,b >1
, y tendríamos un modelo de Programación No Lineal.
Slide8Introducción a la Programación Lineal
Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.
Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:
* Un conjunto de variables de decisión
* Una función objetivo
* Un conjunto de restricciones
Slide9La importancia de la programación lineal: * Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal. * Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales. * La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.
Slide10El problema de la industria de juguetes “Galaxia”.
Galaxia produce dos tipos de juguetes: * Space Ray * ZapperLos recursos están limitados a: * 1200 libras de plástico especial. * 40 horas de producción semanalmente.
Slide11Requerimientos de Marketing.
* La producción total no puede exceder de 800 docenas.
* El número de docenas de
Space
Rays
no puede exceder al
número de docenas de
Zappers
por más de 450.
Requerimientos Tecnológicos.
*
Space
Rays
requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de
producción por docena.
*
Zappers
requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción
por docena.
Slide12Plan común de producción para:
* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores
ganancias, el cual corresponde a
Space
Ray
($8 de utilidad
por docena).
* Usar la menor cantidad de recursos para producir
Zappers
,
porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por
docena).
El plan común de producción consiste en:
Space
Rays
= 550 docenas
Zappers
= 100 docenas
Utilidad = $4900 por semana
Slide13EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA
Slide14Solución
Variables de decisión
* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por
semana).
* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por
semana).
Función objetivo
* Maximizar la ganancia semanal.
Slide15Modelo de Programación Lineal
Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
Sujeto a:
2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)
3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)
X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)
X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)
X
j
>= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)
Slide16Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal.
El conjunto de puntos que satisface todas las restricciones del modelo es llamado:
REGION FACTIBLE
Slide17USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR TODAS LAS RESTRICCIONES, LA FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE PUNTOS DE FACTIBILIDAD.
Slide181200
600
Restricción del plástico
Factible
Restricción del plástico:
2X1+X2<=1200
X2
No Factible
Horas de
Producción
3X1+4X2<=2400
Restricción del total de producción:
X1+X2<=800
600
800
Restricción del
exceso de producción:
X1-X2<=450
Tipos de puntos de factibilidad
Punto Inferior
Punto Medio
Punto Extremo
X1
Slide19Resolución gráfica para encontrar la solución óptima.
Slide20Recalcular la región factible
600
800
1200
400
600
800
X2
X1
comenzar con una ganancia dada de = $2,000...
Utilidad
= $
2,000
Entonces aumente la ganancia...
...y continúe hasta que salga de la región factible
Ganancia =$5040
Slide21600
800
1200
400
600
800
X2
X1
Se toma un valor cercano al punto óptimo
Feasible
region
Región
Factible
Región no
factible
Slide22Resumen de la solución óptima
Space
Rays
= 480 docenas
Zappers
= 240 docenas
Ganancia = $5040
* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y
todas las horas de producción.
* La producción total son 720 docenas (no 800).
* La producción de
Space
Rays
excede a la de
Zappers
por solo
240 docenas y no por 450.
Slide23Soluciones óptimas y puntos extremos.
* Si un problema de programación lineal tiene una solución
óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.
Múltiples soluciones óptimas.
* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la
función objetivo es una recta paralela a uno de los lados
de la región factible.
* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es
también una solución óptima.