Em um jogo repetido um número finito de vezes onde os payoffs dos jogadores são a soma dos payoffs obtidos em cada vez que o jogo é repetido na última rodada será jogado um EN do jogo não repetido em questão ainda que exista uma combinação de estratégias que dê ID: 813256
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Slide1
Jogos Repetidos
Slide2Jogos Repetidos Finitamente
Em um jogo repetido um número finito de vezes, onde os
payoffs
dos jogadores são a soma dos
payoffs
obtidos em cada vez que o jogo é repetido, na última rodada será jogado um EN do jogo não repetido em questão, ainda que exista uma combinação de estratégias que dê
payoffs
maiores para todos os jogadores mas que não seja EN.
Esta
seria atingível apenas via cooperação, mas essa não existirá na última vez em que o jogo é repetido.
Slide3Jogos Repetidos Finitamente
Definindo um jogo repetido T vezes como J(T), sendo J o jogo simultâneo de informação completa que é repetido e tendo que, quando se reinicia um estágio de J(T), todos sabem quais são os resultados dos estágios anteriores; e definindo-se os
payoffs
dos jogadores como simplesmente a soma dos
payoffs
obtidos nos T estágios de J(T), se cada um dos estágios (J) de J(T) possui um EN único, J(T) possui um único ENPS, qual seja, o EN de J em todo estágio de J(T).
Se
o jogo J é dinâmico (mas também com informação completa) e possui um único ENPS, o ENPS do jogo repetido, J(T), será também o ENPS de J em cada estágio.
Slide4Jogos Repetidos Finitamente
Em
suma, se um jogo com apenas um EN - ou ENPS - (e com informação completa, como todos os que vimos até agora) for repetido um número finito de vezes, o ENPS do jogo repetido será o EN - ou ENPS - sendo jogado em todos os seus estágios - desde que os
payoffs
do jogo repetido seja apenas a soma dos
payoffs
obtidos em cada estágio.
Slide5Mais de um EN no jogo de estágio
D
E
F
A
1
,
1
5
,00,0B0,54,40,0C0,00,03,3
Jogador 2
Jogador 1
O resultado anterior, de incapacidade de atingir cooperação em um jogo repetido n vezes, pode ser alterado em um jogo no qual existe mais de um EN no jogo de estágio. Analise-se o seguinte jogo, repetido duas vezes:
Slide6Ausência de Renegociação
D
E
F
A
2,2
6, 1
1, 1
B
1,67, 71, 1C1,11, 14, 4
Jogador 2
Jogador 1
Jogo Visualizado no primeiro estágio Não é possível saber qual será o EN observado no 1° estágio.
Os jogadores podem então chegar ao seguinte Acordo: se no 1° estágio o resultado for (B,E), no segundo eles jogam (C,F); caso, contrário, jogam (A,D) na segunda vez em que o jogo é jogado.
Slide7Ausência de Renegociação
D
E
F
A
2,2
6, 1
1, 1
B
1,67, 71, 1C1,11, 14, 4
Jogador 2
Jogador 1
Jogo Visualizado no primeiro estágio É possível encontrar um ENPS que compreenda no 1° estágio um resultado que não seja um EN do jogo jogado uma única vez; no caso, (B,E).
Slide8Admitindo Renegociação
D
E
F
G
H
A
1,1
5,0
0,00,00,0B0,54,40,00,0
0,0
C
0,0
0,0
3,3
0,0
0,0
Y
0,0
0,0
0,0
4,
½
0,0
Z
0,0
0,0
0,0
0,0
½, 4
Jogador 2
Jogador
1
Jogo Visualizado no primeiro estágio
Slide9Admitindo-se Renegociação
D
E
F
G
H
A
1
,
15,00,00,00,0B0,54,40,00,0
0,0
C
0,0
0,0
3
,
3
0,0
0,0
Y
0,0
0,0
0,0
4
,
½
0,0
Z
0,0
0,0
0,0
0,0
½
,
4
Jogador 2
Jogador 1
Em alguns jogos é possível encontrar ameaças ou promessas que induzam à cooperação nos seus estágios iniciais e que sejam também resistentes à negociação
Considere o seguinte exemplo, que acresce duas estratégias para cada jogador ao jogo anterior.
Slide10Ausência de Renegociação
D
E
F
G
H
A
1
,
15,00,00,00,0B0,54,40,00,0
0,0
C
0,0
0,0
3
,
3
0,0
0,0
Y
0,0
0,0
0,0
4
,
½
0,0
Z
0,0
0,0
0,0
0,0½, 4
Jogador 2
Jogador 1
Jogo de estágio: caracterizado pela existência de quatro EN.
Slide11Acordo Proposto
Suponha
que os jogadores combinem antes do primeiro estágio o seguinte acordo:
se o resultado desse for (B, E), na segunda vez ambos jogam (C, F);
caso apenas o jogador 1 desvie inicialmente dessa estratégia, na segunda rodada eles jogam (Z, H), correspondendo a uma punição ao j.1;
caso o jogador 2 isoladamente desvie, no segundo estágio joga-se (Y, G), punindo-se esse último;
se ambos desviarem de (B, E), eles jogam (C, F) na segunda vez.
Slide12Admitindo Renegociação
D
E
F
G
H
A
1
+3
,1 +35 +1/2,0 +4 0 +3,0 +30 +3,0 +30 +3,0 +3B0 +4,5 +1/24 +3, 4 +3
0
+4
,0 +1/2
0 +4
,0
+1/2
0
+4
,0
+1/2
C
0
+3
,0
+3
0
+1/2
,0
+4
3
+3, 3+30 +3,0 +30 +3,0 +3Y0 +3,0 +30 +1/2,0 +4 0 +3,0 +34 +3, ½ +3
0
+3
,0
+3
Z
0
+3,0 +3
0
+1/2
,0
+4
0
+3
,0
+3
0
+3
,0
+3
½ +3, 4 3
Jogador 2
Jogador 1
Adicione
payoffs
(1/2,4) em todas as células onde o j.2 escolhe E
e
o j.1 não escolhe B;
Adicione (4,1/2
) em todas as células onde o j.1 joga B mas o j.1 não joga E;
e
Adicione
(
3,3) em todas as
outras:
Slide13Admitindo-se Renegociação
D
E
F
G
H
A
4,4
11/2, 4
3,33,33,3B4, 11/27,74, ½4, ½
4, ½
C
3,3
½, 4
6,6
3,3
3,3
Y
3,3
½, 4
3,3
7,
7/2
3,3
Z
3,3
½, 4
3,3
3,3
7/2, 7
Jogador 2
Jogador 1
Jogo Visualizado no primeiro estágio
Slide14Admitindo-se Renegociação
D
E
F
G
H
A
4
,
411/2, 43,33,33,3B4, 11/27,74, ½
4, ½
4
, ½
C
3,3
½, 4
6
,
6
3,3
3,3
Y
3,3
½,
4
3,3
7
,
7/2
3,3
Z
3,3½, 43,3
3,3
7/2,
7
Jogador 2
Jogador 1
Jogo Visualizado no primeiro estágio
Resultado a prova de renegociação: é possível penalizar um “traidor” sem punir a si mesmo;
Slide15Admitindo-se Renegociação
D
E
F
G
H
A
4
,
411/2, 43,33,33,3B4, 11/27,74, ½
4, ½
4
, ½
C
3,3
½, 4
6
,
6
3,3
3,3
Y
3,3
½,
4
3,3
7
,
7/2
3,3
Z
3,3½, 43,3
3,3
7/2,
7
Jogador 2
Jogador 1
Jogo Visualizado no primeiro estágio
Resultado a prova de renegociação:
é possível penalizar um “traidor” sem punir a si mesmo;
Esses resultados se aplicam ao caso em que um jogo se repete mais de duas vezes, com a cooperação sendo possível até o penúltimo estágio.
Os
payoffs
no jogo repetido são a soma simples dos ganhos em todos os estágios.
Slide16Jogos Repetidos Infinitamente
Slide17Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente
Considere a seguinte “estratégia de gatilho” para ambos os jogadores:
"
cooperar (não confessar) no primeiro estágio;
em
qualquer estágio
subseqüente,
coopera se o resultado do período anterior tiver sido (NC, NC), i.e., se tiver ocorrido cooperação;
caso contrário, o jogador não coopera mais e confessa daí em diante". NCCNC-1, -1-9, 0C0, -9-6, -6Jogador 2Jogador 1Fator de desconto δ (0, 1).
Slide18A estratégia de gatilho pode ser um EN do jogo como um todo?
O
payoff
do jogador que desvia é igual ao Valor Presente dos
payoffs
obtidos em cada rodada:
Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente (1)
NC
C
NC-1, -1-9, 0C0, -9-6, -6Jogador 2Jogador 1
Slide19A estratégia de gatilho pode ser um EN do jogo como um todo?
O
payoff
do jogador que não desvia, mas que segue a estratégia de gatilho proposta:
Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente (2)
NC
C
NC
-1, -1
-9, 0C0, -9-6, -6Jogador 2Jogador 1
Slide20A estratégia de gatilho pode ser um EN do jogo como um todo?
Desviar no primeiro estágio vale a pena se:
Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente (3)
NC
C
NC
-1, -1
-9,
0
C0, -9-6, -6Jogador 2Jogador 1Vale a pena desviar se o jogador valoriza pouco o futuro. A estratégia de gatilho é preferível se o jogador não desconta muito o futuro.
Slide21A estratégia de gatilho pode ser um EN do jogo como um todo?
Para que seja um ENPS, a estratégia de gatilho deve ser um EN de cada
subjogo
;
Como os
subjogos
são idênticos, o requisito para que se obtenha um EN no jogo inteiro é o mesmo que se aplica para que seja um ENPS:
A estratégia de gatilho analisada para os dois jogadores é um ENPS caso o fator de desconto seja superior a 1/6.
Dilema dos Prisioneiros Repetido Infinitamente (3)
Slide22Folk
Theorem
Seja
um jogo J, estático, finito e de informação completa.
Caso
exista um conjunto de estratégias (mesmo que elas não sejam um EN de J) dos jogadores que confiram
payoffs
(que chamarei de {p1,...,
pI
}) a todos eles superiores aos que obteriam jogando um EN de J, se o fator de desconto for suficientemente próximo de um (i.e., se se descontar suficientemente pouco os valores futuros), então existe um ENPS no jogo J repetido infinitas vezes no qual é possível alcançar, em cada estágio, os payoffs {p1,..., pI} para os jogadores.
Slide23Duopólio de
Cournot
Repetido Infinitamente
Equilíbrio de
Cournot
no caso de duas firmas:
Existe apenas um EN, onde ambas as firmas produzem
qi = (a - c) / 3 , i = 1, 2 , e lucram cada uma: i = (a - c)2 / 9 , i = 1, 2 .
Slide24Duopólio de
Cournot
Repetido Infinitamente
Equilíbrio de
Cournot
no caso de duas firmas:
No caso em que as firmas decidem formar um cartel, a produção e o lucro são dados por:
qi = qm/2 = (a - c) / 4 , i = 1, 2 , i = m/2 = (a - c)2 / 8 , i = 1, 2 . Tal conluio não é estável, pois cada uma das firmas tem incentivo a desviar do acordo proposto.
Slide25Duopólio de
Cournot
Repetido Infinitamente
Tal conluio não é estável, pois cada uma das firmas tem incentivo a desviar do acordo proposto.
Slide26Duopólio de
Cournot
Repetido Infinitamente
Para esse nível de produto para a firma i, supondo que a outra firma produza
q
m
/2, alcança-se um lucro de:
Slide27Duopólio de
Cournot
Repetido Infinitamente
Como o jogo se altera no caso em que o Duopólio de
Cournot
é repetido infinitamente?
Estratégia de gatilho:
produzir qm/2 no primeiro período; manter qm/2 em cada período se a outra firma também tiver produzido essa quantidade no período anterior; senão, produzir a quantidade do EN de Cournot para sempre.
Slide28Duopólio de
Cournot
Repetido Infinitamente
Como o jogo se altera no caso em que o Duopólio de
Cournot
é repetido infinitamente?
Payoff
de cooperar: Payoff associado ao desvio: A estratégia de gatilho proposta jogada por ambos será um EN se:
Slide29Duopólio de
Cournot
Repetido Infinitamente
A estratégia de gatilho proposta jogada por ambos será um EN se:
se
não é menor que 9/17, então ambos os concorrentes jogarem a estratégia de gatilho acima essa será um EN e um ENPS no jogo repetido infinitamente.
Nesse caso, o cartel, para esse dado problema, torna-se estável.
Observe que essa não é uma regra para todos os conluios de mercado possíveis.