Złote proporcje Gdybyśmy pewnego dnia położyli się spać, a w czasie naszego snu - PowerPoint Presentation

Slide1

Złote proporcjeSlide2

Gdybyśmy pewnego dnia położyli się spać, a w czasie naszego snu zniknęłyby wszystkie liczby, zabierając ze sobą matematykę – jaki byłby wtedy świat? Obudzilibyśmy się następnego ranka w świecie bez komputerów, bez radia i telewizji, bez telefonów komórkowych, nawet bez czajnika do herbaty… A to wszystko jeszcze przed wyjściem z domu! Społeczność ludzka nie może istnieć bez liczb. Ich wszech-obecność jest przytłaczająca i dotyczy to nie tylko współczesnego społeczeństwa opartego na technologii cyfrowej. Tak było zawsze. Liczby kierowały się aktywnością człowieka od czasów prehistorycznych, stanowiąc jego najbardziej podstawowe i jakże imponujące narzędzie umysłu.

Każda cywilizacja tworzyła systemy liczbowe potrzebne do realizacji jej podstawowych celów, każda kultura reprezentowała liczby na swój sposób. Wszystkie te systemy spełniały jednak zawsze te same funkcje, służyły do: liczenia, porządkowania, mierzenia i kodyfikacji.Slide3

Złoty podział

, 

podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Rysunek poniżej ilustruje ten związek geometrycznie. Wyrażony algebraicznie:Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ. Jej wartość wynosi:Slide4

Dla miłośników precyzji



Φ=1,618033988749894848204586834365681177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880783868197521254684663386222353693117991802060766726354433389086595939582905638322667319928290267880675208766892507111696207033222114321626954862629631361443814975870122034080588795544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607749988712400765217057517978834166256249407589069704000281210427621771117778053143117141011704666659914669798731761356006708748071013179523691429521948435885533056783002287856997829778347848782289110976625002695486262963136144381497587012203408058879554454749246185695364864449241044320771902449707207204189391137484754088078386819752125468466338622235369311799180206076672635443338908659593958290563832266731992829026770874807101317952369142952194843588553305678300228785699782977834784878228911097662500269548626296313614438149758701220340… Slide5

Jak narysować złoty podział odcinka?

Najprostszy sposób polega na użyciu jednej (czerwonej) linii i czterech okręgów. Linia niebieska to złoty podział odcinka...Slide6

Weźmy przykładowo odcinek równy liczbie FI: C = 1.6180339 i dorysujmy do niego kolejne odcinki pozostające z odcinkiem wyjściowym w złotej proporcji. Można to zrobić na dwa sposoby:

A) mnożąc liczbę Fi przez samą siebie: 

1.0000000 x 1.6180339 =  1,6180  33...1.6180339 x 1.6180339  = 2,6180  33...2,6180337 x 1.6180339  = 4,2360  67...4,236067.. x 1.6180339 =  6,8541  00..., etc.lub

B) dodając do kolejnej sumy, poprzednią sumę:0.6180339 + 1.0000000 =  1,6180 339

1.0000000 + 1.6180339 =  2,6180 339

2.6180339 + 1.6180339 =  

4,2360 678

4,2360678 + 2.6180339 =  

6,8541 017

, etc...Slide7

Zarówno w wyniku dodawania i mnożenia zawsze uzyskasz takie same kolejne liczby do czterech lub więcej miejsc po przecinku (zależy to od tego, ile miejsc po przecinku wpiszesz w punkcie wyjścia). Liczby te wyznaczą długość kolejnych odcinków pozostających względem siebie w złotej proporcji.

Przykład kości dłoni pozostających względem siebie w złotej proporcji.

Liczby, które otrzymujemy w wyniku dodawania i/lub mnożenia A = 1,000000 cmB = 1,618033 cmC = 2,618033 cmD = 4,236067 cmwyznaczają długości kolejnych kości dłoni - oczywiście przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm.

Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między nimi zawsze będą wyznaczone przez liczbę Fi = 1,618...Dłoń na fotografii rentgenowskiej obok.Slide8

Złoty prostokąt

 – prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym,

że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt.Wprost z definicji złotego prostokąta i własności złotej liczby φ wynika, że:Jeśli na początku stosunek boków wynosi:,to po dołączeniu kwadratu do dłuższego boku otrzymuje się prostokąt o bokach a + b i a spełniający warunek:Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta otrzymuje się prostokąt, którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.

Powtarzając te czynności otrzymuje się kolejne coraz większe lub coraz mniejsze złote prostokąty.Slide9

Oto (w pewnym przybliżeniu) złoty prostokąt:Slide10

Złoty świat sztuki

Wiele pisano o tajemnicy kryjącej się w najsłynniejszym uśmiechu w historii sztuki. Można jednak spróbować znaleźć geometryczne rozwiązanie zagadki. Zobaczymy, co się dzieje, gdy na twarzy Mona Lisy nałożymy kilka złotych prostokątów. Czy Leonardo Da Vinci myślał o złotej proporcji, gdy malował swoje arcydzieło?

Odpowiedź pozytywna byłaby nieco ryzykowna. Na pewno mniej kontrowersyjny byłby pogląd,że geniusz z Florencji przywiązywał ogromną wagę do relacji między estetyką a matematyką. Pozostawimy teraz tę kwestię w zawieszeniu,nie omieszkawszy wpierw zauważyć, że Leonardowykonał ilustrację do matematycznej książki

De Divina Proportine („ O złotej proporcji”),której autorem był jego przyjaciel Luca Pacioli.Slide11

Przyjrzyjmy się teraz architekturze, zapewne szczytowemu przejawowi sztuk stosowanych. Jeśli prawdą jest, że złota proporcja stwarza harmonię dostrzegalną we wszystkich jej postaciach, powinniśmy ją odnaleźć we wzorach geometrycznych leżących u podłoża najbardziej ikonicznych budowli świata. I taka teza byłaby wszakże nieco ryzykowna. Złota proporcja rzuca się w oczy w wielu wielkich historycznych budowlach, takich jak piramida Cheopsa, czy niektóre znane katedry gotyckie, ale często występuje w bardziej subtelnej postaci. W wielu przypadkach widać ją znacznie wyraźniej. Tak jest np. z wieloma elementami słynnej fasady arcydzieła Fidiasza, Partenonu lub z Bramą Brandenburską, które można rozłożyć na kilka prostokątów.

Złoty podział w architekturze.Slide12
Slide13

Tajemnice róż

Związek złotej proporcji z pięknem nie jest jedynie efektem subiektywnej ludzkiej percepcji. Sama przyroda wydaję się nadawać liczbie

Φ szczególne znaczenie, przekładając pewne kształty ponad inne. Aby to zrozumieć musimy zanurzyć się głębiej w właściwości złotej proporcji. Weźmy już dobrze nam znany Złoty Prostokąt i wpiszmy w niego kwadrat o bokach równych szerokości prostokąta. Utworzymy w ten sposób nowy złoty prostokąt. Powtarzając kilkakrotnie ten proces, otrzymamy następującą figurę. Slide14

Teraz w każdym z wpisanych kwadratów narysujemy łuk okręgu w sposób pokazany na rysunku. Promień każdego łuku jest równy długości boku kwadratu, w którym łuk jest zawarty. Rysunek będzie wyglądał tak:Slide15

Ta elegancja krzywa nosi nazwę

Spirali Logarytmicznej.

I nie jest ona tylko matematyczną ciekawostką. Z łatwością można ją dostrzec w świecie fizycznym, przenosząc się z muszli nautilusa…Slide16

Do ramion galaktyk…Slide17

Ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego jest to ciąg liczbowy, opisany przez XIII-wiecznego włoskiego matematyka, zaczyna się od wartości 1 i 1, po czym każdy następny jego wyraz to suma dwóch go poprzedzających. Oto pierwsza piętnastka wyrazów tego nie skończonego ciągu:

1,

1

, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.

Iloraz dowolnej liczby tego ciągu przez liczbę, która go poprzedza, jest zawsze pewnym przybliżeniem liczby

Φ

– tym lepszym, im dalej jesteśmy w ciągu. Sprawdźmy to:

1/

1

= 1

2/1 = 2

3/2 = 1,5

5/3 = 1,(6)

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,615384…

34/21 =1,619047…

55/34 = 1,617647…

89/55 = 1,618181…

144/89 = 1,617977…

Φ

= 1,6180339887…Slide18

KONIEC

Wykonali:

Kamil Szczeszek, Arkadiusz Zajdel, Oscar Teeninga, Igor Półchłopek, Piotr Mercik i Jakub Proczek.