MATEMÁTICA Matemática - PowerPoint Presentation

MATEMÁTICA

Matemática contexto e aplicações Luiz Roberto Dante – 1º ano Ensino M édio

2º Bimestre – Função afim e Função quadrática Neste bimestre foram trabalhados os temas : Função afimGráfico da função afimInequações e sistemas de inequações do 1° grauFunção modularFunção quadráticaGráfico da função quadráticaVértice, imagem, valor máximo e valor mínimo da função quadrática Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre

Capítulo 3 – função afim e função modular Função afim Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre Valor numérico f : ℝ→ℝ f(x ) = a x + b , com a ∈ ℝ , b ∈ℝ , para todo x ∈ℝ O valor numérico de uma função afim f(x) = ax + b para x = xo é dado por f(xo) = axo + b Na função afim f(x) = 5x + 1, o valor numérico da função quando x é igual a 1 é:f(1) = 5 ⋅ 1 + 1 = 6∴ f(1) = 6 Exemplo:

Capítulo 3 – função afim e função modular Gráfico de uma função afim f (x) = ax + b no plano cartesiano é sempre uma reta . a = taxa de variação da função f ou declividade ou coeficiente angular da função em relação ao eixo horizontal Ox.b = valor inicial da função ou coeficiente linear dessa reta. Traçado de gráficos da função afim Por se tratar de traçados de retas no plano cartesiano, basta conhecermos dois pontos distintos pertencentes a ela. Obtidos esses pontos, traçamos a reta . Gráfico da função afim f(x) = ax + bMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 3 – função afim e função modular É o valor de x para o qual a função f(x ) = a x + b se anula, ou seja, para o qual f(x) = 0.Para determinar o zero de uma função afim basta resolver a equação ax + b = 0. Exemplo:O zero da função f (x) = 2x − 5 é pois 2x − 5 = 0 2x = 5 x =  Zero da função afimMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º BimestreX = (zero da função) Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 3 – função afim e função modular Quando a função afim f( x) = ax + b tiver o valor a ≠ 0, dizemos que f(x) é uma função do primeiro grau.Uma função do primeiro grau é crescente quando a > 0 e decrescente quando a < 0. Estudo do sinal da função afim Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora a < 0a > 0Dispositivo práticof(x) = ax + b, a ≠ 0

Capítulo 3 – função afim e função modular Utilizamos o estudo do sinal para resolver sistemas de inequações do 1º grau em ℝ. Por exemplo: Sistema de inequações do 1º grau Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre Devemos resolver simultaneamente as inequações 3x − 4 > 0 e − x + 5 ≥ 0. Assim, a solução do sistema será dada pela intersecção das soluções dessas duas inequações. , para x ∈ ℝ 3x − 4 > 0 ⇒ S1 =−x + 5 ≥ 0 ⇒ S2 = {x ∈ℝ| x ≤ 5}S1 ∩ S2 = S = ou Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 3 – função afim e função modular Dadas as funções f(x) e g ( x ) São inequações produto dessas funções: f(x) ⋅ g(x) > 0; f(x) ⋅ g(x) ≥ 0; f(x) ⋅ g(x) < 0 ; f(x) ⋅ g (x) ≤ 0 Algumas inequações quocientes das funções: > 0; ≥ 0; < 0; ≤ 0, (g(x) ≠ 0)Acompanhe a resolução da inequação produto (x − 2) ⋅ (1 − 2x) ≤ 0  Inequações produto e inequações quocienteMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre I. f ( x ) = x − 2 II. g ( x ) = 1 − 2x Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 3 – função afim e função modular Precisam ocorrer simultaneamente: I. f(x) ≥ 0 para x ≥ 2 e g (x) ≤ 0 para x ≥ II. f (x) ≤ 0 para x ≤ 2 e g(x) ≥ 0 para x ≤ A determinação do conjunto solução é obtida usando o quadro de sinais a seguir. Inequações produto e inequações quociente Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre S =  Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora  

Capítulo 3 – função afim e função modular f: ℝ→ℝ f(x ) = | x |, em que | x | = Função ModularMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre  Observação: Para x < 0, temos o gráfico da função afim f ( x) = −x e, para x ≥ 0, temos o gráfico da função afim f(x) = xGráfico da função f(x) = |x|Gráficos das funções: f(x) = |x|; g(x) = | x| +2 e h(x) = |x| − 2 Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 3 – função afim e função modular Construção do gráfico da função MODULARMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre Se x ≥ 0 ⇒ f(x) = |x | = x Se x ≤ 0 ⇒ f ( x ) = |x| = −x Colocando as duas condições em um só gráfico, temos o gráfico de f(x) = |x|Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 4 – função quadráticaFunção quadráticaMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre o nde x’ e x’’ são as raízes da equação ax² + bx + c = 0f: ℝ→ℝ + bx + c, em que a , b, c são números reais e a ≠ 0 Forma fatorada do trinômio Zeros (ou raízes) da função quadráticaFatorar significa escrever sob a forma de produto. e , onde - 4ac   + b + c = a ( - ’) . ( - ”), a  

Capítulo 4 – função quadrática Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre Gráfico da Função quadrática f(x) = ax2 + bx + cO gráfico de uma função quadrática é uma parábola.O parâmetro b indica onde a parábola interse c ta o eixo y. O parâmetro a é responsável pela concavidade e abertura da parábola. Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 4 – função quadrática Exemplo: O gráfico seguinte é o da função f(x) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 Gráfico da Função quadrática f(x) = ax2 + bx + cMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre O vértice V de uma parábola é seu ponto mais baixo quando a > 0 (ponto mínimo) ou seu ponto mais alto , quando a < 0 (ponto máximo) e é dado por: I. a < 0, pois a concavidade está para baixo.II. c > 0 pois f(0) = c e a parábola corta o eixo vertical em sua parte positiva. III. A abscissa do vértice é dada por .Portanto a e b têm sinais iguais quando a abscissa do vértice é negativa e t ê m sinais diferentes quando a abscissa do vértice é positiva. Então, nesse caso, a e b têm sinais contrários pois a abscissa do vértice é positiva. Como a < 0, temos b > 0   V ,  

Capítulo 4 – função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 intersecta o eixo y no ponto (0, c)Se Δ = 0, f(x) possui uma raiz real dupla (a parábola intersecta o eixo x num só ponto).Se Δ > 0, f( x ) possui duas raízes reais distintas (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos). Se Δ < 0, f(x) não possui raízes reais (a parábola não intersecta o eixo x).Determinação algébrica das intersecções da parábola com os eixosMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º BimestreImagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 4 – função quadrática A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo. Vértice da parábola , imagem e valor máximo ou mínimo da função quadráticaMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 4 – função quadrática ESTUDO DAS FUNÇões quadráticas Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre 1º caso: Δ > 0 f (x) = 0 para x = x ” ou x = x ’ f(x) > 0 para x < x” ou x > x’f(x) < 0 para x” < x < x’ f(x) = 0 para x = x” ou x = x’ f ( x ) > 0 para x ” < x < x ’ f ( x ) < 0 para x < x ” ou x > x ’ Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 4 – função quadrática ESTUDO DAS FUNÇões quadráticas Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre 2º caso: Δ = 0 f (x) = 0 para x = x ” = x f ( x ) = 0 para x = x” = x’ f(x) > 0 para x ≠ x f(x) < 0 para x ≠ x’Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 4 – função quadrática ESTUDO DAS FUNÇões quadráticasMatemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre 3º caso: Δ < 0 f (x) > 0 para todo x real f ( x ) < 0 para todo x real Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora

Capítulo 4 – função quadrática Dispositivo prático Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora