O jogo de Sperner Roberto - PowerPoint Presentation

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O jogo de Sperner

Roberto

Imbuzeiro

Oliveira (IMPA)

PAPMEM de

janeiro

de 2018

(

Baseado

no

artigo

de Jaime

Poniachik

na

RPM 33)

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Que jogo é

esse?

Tabuleiro

com n casas (no

caso

n=8)

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Que jogo é

esse?

A e B

preenchem

casas

alternadamente

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Que jogo é

esse?

A

A e B

preenchem

casas

alternadamente

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Que jogo é

esse?

A

B

A e B

preenchem

casas

alternadamente

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Que jogo é

esse?

A

A

B

A e B

preenchem

casas

alternadamente

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Que jogo é

esse?

A

A

BB

A e B

preenchem

casas

alternadamente

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Que jogo é

esse?

A

A

BAB

A e B

preenchem

casas

alternadamente

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Que jogo é

esse?

B

A

ABAB

A e B

preenchem

casas

alternadamente

Slide10

Que jogo é

esse?

B

A

AABAB

A e B

preenchem

casas

alternadamente

Slide11

Que jogo é

esse?

B

A

AABBAB

A e B

preenchem

casas

alternadamente

Slide12

Que jogo é

esse?

B

A

AABBAB

“

Explosões

” (

colisões

AB

ou

BA)

são

contadas

Slide13

Que jogo é

esse?

B

A

AABBAB

A

ganha

se o

número

de

explosões

é

ímpar

B

ganha

se o

número

de

explosões

é

par

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Que jogo é

esse?

B

A

AABBAB

Neste

caso

, B

ganha

Slide15

Que jogo é

esse?

B

B

AABBAA

Neste

caso

, A

ganha

Slide16

E

aí

,

vamos

jogar?

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Alguém tem uma estratégia vencedora

Teorema:

Considere

um

jogo de dois jogadores que se alternam para agir. Suponha que:o jogo não admite empates e não enolve sorte;o jogo sempre termina em no máximo k rodadas, para algum k;o número de alternativas disponíveis para cada jogador em cada lance é finito.Então um dos jogadores tem uma estratégia que o permite ganhar sempre, não importando o que o outro jogador faça.

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Nosso objetivo a seguir

Entender

qual

dos

jogadores tem estratégia vencedora.BAAABBA

B

A

ganha

se o

número

de

explosões

é

ímpar

B

ganha

se o

número

de

explosões

é

par

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A grande pergunta

De que

modo

eu posso forçar a paridade do número de explosões (colisões) a tomar o valor que eu quero?

Slide20

E

aí

,

vamos

jogarmais um pouquinho?

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Um resultado

Teorema:

Considere

uma sequência finita composta pelas letras A e B. Então necessariamente vale a seguinte propriedade.Se as letras inicial e final coincidem, o número de explosões (ou colisões AB/BA) é par.Se as letras inicial e final diferem, o número de explosões é ímpar.

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Quem se arrisca a demonstrar isso?

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Demonstração

Prova

por

indução no comprimento da sequênciaCaso base: comprimento 1. Resultado trivialmente verdadeiro.Passo indutivo: suponha que o resultado vale até comprimento n-1. Como provar para comprimento n? Consideramos dois casos.A sequência só contem uma letra repetida n vezes (trivial)A sequência tem as duas letras (próximos slides)

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Demonstração (II)

Vamos

supôr

sem perda de generalidade que a sequência começa com A. Sabemos que ela também contém a letra B. Chame de x o número de explosões.O que acontece se retiramos o bloco inicial da letra A? AAABABABBBABBBBBABAA

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Demonstração (III)

Propriedades da

sobra

:

A…ABABAB…ABBAtem comprimento menor que n (hipótese de indução se aplica);concorda no início e no fim se e somente se a original discorda;tem x-1 explosões.Concluímos: x-1 par se sobra concorda, ímpar se discorda (hip. Indução)Dito de outro modo: x par se sequência original concorda, ímpar se discorda, que é o que queríamos demonstrar.

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Mas

você

ainda

não respondeu quem tem estratégia vencedora!

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A grande pergunta (e

sua resposta)

De que

modo

eu posso forçar a paridade do número de explosões (colisões) a tomar o valor que eu quero?Resposta: Para o jogador A (que joga pelo ímpar) ganhar, ele precisa garantir que preencheu uma (e apenas uma) das pontas do tabuleiro. Como ele sempre pode fazer isso, ele tem uma estratégia vencedora.

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Tentativa de estratégia

vencedora para A

B

?

??

A

ganha

se o

número

de

explosões

é

ímpar

Se B

preenche

uma

ponta

, A

vai

e

preenche

a

outra

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Tentativa de estratégia

vencedora para A

B

?

??A

A

ganha

se o

número

de

explosões

é

ímpar

Se B

preenche

uma

ponta

, A

vai

e

preenche

a

outra

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Tentativa de estratégia

vencedora para A

B

A

BABA

Pdar

problema

é

se no

penúltimo

e ultimo lances as

pontas

estão

vagas

. Mas

isso

tá

OK

também

.

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A estratégia vencedora

Estratégia

:

jogador A ganha se seguir a seguinte estratégia: ele preenche uma ponta do tabuleiro logo depois de B preencher a outra, ou então quando não houver mais jeito (só restar casa na ponta).Não depende do tamanho do tabuleiro, nem de quem joga primeiro.

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O lema de Sperner

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O Lema de Sperner

Divida

um

trinângulo

ABC em triângulos menores.Dê um “rótulo” A, B ou C para cada vértice da figura, de modo que vertices no segumento AB ganhem rótulo A ou B, e o mesmo para os outros segumentos BC, AC do triângul original.Sperner garante que algum triangulinho terá os rótulos ABC.

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O Lema de Sperner

Generaliza

para

dimensões

mais altas (por exemplo, um tetraedro dividido em tetraedrinhos). Uma consequência é um teorema famoso.Ponto fixo de Brower: uma função continua f da esfera d-dimensional nela mesma necessariamente tem um ponto fixo (isto é, um x em seu domínio com f(x)=x).

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Um problema para a tarde

Qual

é

a estragégia vencedora para um tabuleiro em forma de cruz?

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Jogos e paridades

Muitos

problemas

relacionados a jogos têm a ver com paridades. Veremos a seguir um exemplo adaptado da OBM 2005 em que o objetivo é achar obstruções para completer um jogo de paciência.

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Alinhando dominós

Dominós

preenchidos

com os números de 0 a n.Objetivo: alinhá-los numa sequência horizontal, de modo que, quando duas peças se tocam, os números coincide neste “local de toque”.Exemplo (n=2): [0|0] [0|1] [1|1] [1|2] [2|2] [2|0] Prove que não há alinhamento possível quando n=3,5,7,…

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Alinhando dominós

Dominós

preenchidos

com os números de 0 a n.Objetivo: alinhá-los numa sequência horizontal, de modo que, quando duas peças se tocam, os números coincide neste “local de toque”.Exemplo (n=2): [0|0] [0|1] [1|1] [1|2] [2|2] [2|0] Prove que não há alinhamento possível quando n=3,5,7,…

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O papel das paridades

Número

de

ocorrências

do número j nas peças: n+2. De fato ele aparece nas peças de [j|k] com k=0,1,..,n, mas aparece duas vezes em [j|j]Invariante do alinhamento: exceto nas pontas, as ocorrências de j se dão em pares. Se n>2 e há alinhamento, pelo menos um j não ocorre nas pontas, logo n+2 é par.

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Muito

obrigado!

Créditos

das imagens:http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Sperner.htmlhttps://mathematica.stackexchange.com/questions/123250/help-to-finish-a-sperner-lemma-application