Matematinis samprotavimas mokykloje - PowerPoint Presentation

Slide1

Matematinis samprotavimas mokykloje

Rimas Norvaiša

201

7

m. balandžio 2

6

d.

Slide2

Seminare aptarsiu:- matematinio samprotavimo pradinėse klasėse pavyzdžius;- mokyklinio įrodymo sampratą;- psichologų tyrimus apie vaikų gebėjimą suprasti dedukcinį samprotavimą;- mokyklinio įrodymo (ne)naudojimas

geografiniame ir istoriniame kontekste.

Planas

Slide3

Teiginys. Dviejų nelyginių skaičių suma yra lyginis skaičius.2 klasėje šios sąvokos apibrėžiamos taip. L

yginiai

skaičiai visada dalosi iš

2

. Tai 0,2,4,6,… Nelyginiai skaičiai nesidalina iš 2. Tai 1,3,5,7,…. Dažniausiai pagrindžiamas empiriniu argumentu: 1+3=4, 5+15=30.Kiti pagrindimo būdai:

MS

pavyzdžiai

Slide4

Ap. Skaičius yra nelyginis, jei, iš eilės grupuojant po du, vienas lieka laisvas. Skaičius

yra lyginis jei, grupuojant po du, laisvų nelieka.

Teiginio įrodymas:

Jei sudėsime du nelyginius, likę du laisvi sudarys naują porą ir laisvų neliks.

Sudėjus du nelyginius gavome, kad juos galima sugrupuoti po du.Todėl nelyginių skaičių suma yra lyginis skaičius.Įrodymas žodžiais

Slide5

Įrodymas piešiniais

Slide6

Nelyginis skaičius turi išraišką: 2n+1 su kuriuo nors

nat

ūraliuoju

n.

Lyginis skaičius turi išraišką: 2n su kuriuo nors natūraliuoju n.Dviejų nelyginių skaičių suma:(2n+1)+(2k+1)=2(n+k)+1+1=2(n+k+1).Įrodymas algebra

Slide7

1. Ką galima pasakyti apie dviejų vienas po kito einančių nelyginių skaičių sumą?Tokia suma dalosi iš 4.2. Ką galima pasakyti apie skaičių, kuris gaunamas nelyginį skaičių padauginus iš 3

i

r pridėjus

3?

Toks skaičius dalosi iš 6.3. Įrodyti, kad yra be galo daug sakinių, kuriais 10 išreiškiamas atimtimi.11-1=10,12-2=10,13-3=10,…..Kiti uždaviniai

Slide8

Ap. Skaičius yra taškas (skaičių) tiesėje.Ap. Teigiamų skaičių a ir b suma a+b yra dešinysis galas intervalo, gaunamo apjungus vieną greta kito padėtus intervalus [0,a] ir [0,b]:

|--------|----------|-------------



0 a a+bTeorema. Trupmenų m/n ir k/l suma yra trupmena (ml+kn)/(nl).Įrodymas. Intervalus [0,m/n] ir [0,k/l] nuosekliai padaliname 1/(nl) ilgio intervalais ir suskaičiuojame kiek jų telpa.MS iliustracija

Slide9

- kiekviena sąvoka yra apibrėžiama;- kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma;

- kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu;

- kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi;

- matematikos žinios yra orientuotos į tikslą ir sprendžia kurią nors problemą.

Matematinis samprotavimas (MS)

Slide10

MS iš prielaidų ir apibrėžimų gaunami nauji teiginiai. MS yra įmanomas tik tada, kai sąvokos yra tarpusavyje susijusios. Pavyzdžiui, ,,natūralusis skaičius yra trupmena, kurios vardiklis lygus vienetui“, arba ,,trupmena yra skaičius“.

Loginiais

ryšiais susijusios sąvokos sudaro hierarchinę

struktūrą

, arba sąvokų medžius. Matematika - struktūra

Slide11

MS yra panašus į formalųjį įrodymą akademinėje matematikoje, bet ir skirtingas. Įrodymas akademinėje matematikoje yra dedukcinis samprotavimas siejantis šiuolaikinės matematikos faktus, apibrėžimus ir aksiomas, kurių nėra ir negali būti mokyklinėje matematikoje. Tačiau mokyklinėje matematikoje yra įmanomas ir būtinas loginis samprotavimas (įrodymas) siejantis mokyklinės matematikos sąvokas, kurios sudaro savo struktūrą.

Įrodymas

Slide12

Samprotavimas, kuriuo siekiama pagrįsti ar paneigti tvirtinimą, vadinamas įrodymu, jei jį sudaro šios trys komponentės:- naudoja tik tuos teiginius, kurie anksčiau klasėje buvo pripažinti teisingais (apibrėžimai, aksiomos, teoremos ir t.t.);- naudoja tik tas samprotavimo formas, kurios yra pagrįstos ir buvo aptartos klasėje (įvairios logikos taisyklės);

- išreiškiamas klasėje naudojama matematine kalba (diagramos, piešiniai, lentelės, simboliai ir t.t.).

Mokyklinio įrodymo apibrėžtis

Slide13

Įrodymą sudaro trys komponentės:Teisingi teiginiai;Pagrįsti teiginiai; Išraiškos priemonės.Akademinėje matematikoje ir mokyklinėje matematikoje šios komponentės skirtingos.

Netgi skirtingos klasės gali turėti skirtingas įrodymo sampratas (nagrinėtas pavyzdys).

Empirinis argumentas

=/=

įrodymasMokyklinis vs akademinis įrodymas

Slide14

Mokyklinės matematikos žinios yra susijusios su akademinės matematikos žiniomis, kaip žaislas (pavyzdžiui, žaislinis lėktuvas) yra susijęs su realiu objektu (tikru lėktuvu). Žaislas gali būti įvairaus tikslumo, nuo primityvaus iki skraidančio modelio. Panašiai yra su mokyklinės matematikos struktūra ir samprotavimu; nuo paprasto pradiniame ugdyme iki sudėtingesnio mokymosi pabaigoje.

Palyginimas

Slide15

Įrodymo akademinėje matematikoje ir įrodymo mokyklinėje matematikoje tapatinimas yra žalingas nesusipratimas. Tapatinant šias sampratas, galima nesunkiai pademonstruoti, kad įrodymas nesuprantamas daugumai mokinių ir mokytojų. Dabar įrodymo mokomasi kaip eilėraštį – mintinai.

Įrodymas kaip eilėraštis

Slide16

Nėra bendro sutarimo kokio amžiaus vaikai įvaldo skirtingas dedukcinio samprotavimo formas.Kai kurie tyrimai teigia, kad pilnai dedukcinį samprotavimą (apie konkrečius

objektus) supranta

11-12

metų vaikai [....].

Kiti tyrimai teigia, kad paprasčiausias logines implikacijas suvokia ikimokyklinukai [....].Netgi tokias: ,,Visos žuvys gyvena medžiuose. Karpis yra žuvis. Ar karpis gyvena medyje?“Psichologai apie MS mokykloje

Slide17

MP: p ir p->q |- qMT: p->q ir ~q |- ~pAbi taisykles supranta 10 metų vaikai.Bet MT supranta blogiau už MP.Taisyklių supratimas gerėja lavinant vaikus.

Naudojant MS ir įrodymus matematikos pamokose gerėja dedukcinio samprotavimo supratimas. Tiksliau priklausomybė netirta.

Tai gali paaiškinti tyrimų skirtingus rezultatus.

Modus

ponens ir modus tollens

Slide18

Matematikos mokymo lygį konkrečioje valstybėje lemia dydis tos visuomenės dalies, kuriai prieinamas matematikos mokymas, ir vyriausybės rūpestis matematikos mokytojų kvalifikacija. Nesirūpinant

mokytojų kvalifikacija ir didėjant besimokančių matematikos skaičiui, lygis krenta.

Šios problemos

pasireiškimas

mažinamas sudarant tokias sąlygas, kada matematika prieinama tik elitui. Tai veiksminga tol, kol nėra judėjimo laisvės. Geografinis ir istorinis kontekstas

Slide19

1730 m į Peterburgą atvyko L. Euleris .....Nuo Euler‘io laikų matematika Rusijoje buvo pagrindiniu mokomu dalyku.MM palaipsniui

tapo dviejų lygių – vienas elitui ir kitas likusiai visuomenės

daliai.

20 a.

aktyvūs pedagoginiai tyrimai ir nuoseklus mokytojų ruošimas.1981 m Rusijos MM turėjo pripažintą pranašumą prieš kitas MM sistemas (I. Wirszup).Matematikos mokymas Rusijoje

Slide20

Po revoliucijos Prancūzijoje atsiranda lycees ir Ecole Polytechnique

kuriame mokėsi elitas (iki

3%

berniukų) – aukštas lotynų k. ir matematikos lygis.

Matematika – proto galias formuojantis dalykas.Ruošia valstybės tarnautojus ir karininkus.Likusi visuomenės dalis kolegijose.Kitose Europos valstybėse MM situacija labai skirtinga. Pvz. Anglija nesirūpino mokytojų ruošimu.MM Europoje iki 20 a.

Slide21

Siekiant išsaugoti matematikos mokymo lygį jam tampant

visuotiniu

ir

privalomu, 1908 metais įkurta Matematikos mokymo tarptautinė komisija (International Commission on Mathematics Instruction).Tikslas skatinti geresnį visų lygių MM. Dabar organizacijai priklauso 93 šalys.

MM tarptautinė komisija

Slide22

Po ~1930, pasibaigus ,,kalimo teorijos“ (,,drill theory“) populiarumo laikotarpiui, MM atsirado matematikos

supratimą

skatinanti tendencija.

Supratimo

siekta naudojant naujus mokymo metodus, o klausimas ,,kaip mokyti?“ buvo svarbiausiu. Kartu, tiek Europoje, tiek ir Amerikoje, buvo bandoma (bet neįgyvendinta) keisti MM turinį ruošiant naujas programas ir vadovėlius. MM vakaruose iki 1960-ųjų

Slide23

Amerikiečiai nusprendė reformuoti MM, siekdami mokyklinės matematikos turinį priartinti prie akademinės matematikos turinio.1959 metais Prancūzijoje EBPO pirmtakas išplėtė

amerikiečių reformą į Europą ir papildė ją

Dieudonne

pasiūlymu atsisakyti Euklido geometrijos kaip pasenusios.Į šias reformas įsijungė visos EBPO pirmtako, o po 1961 m ir pačios EBPO valstybės narės. Nuo tada MM atsirado

vakar

ų ir rytų stov

y

klos.

Sputniko

vaidmuo

1957 m.

Slide24

Jį skatino:Šaltojo karo priešprieša ir visuomenėje stiprėjantis suvokimas apie matematikos svarbą

nacionaliniam saugumui;

Bourbaki

vardu pasivadinusios matematikų grupės darbuose propaguojamo

aksiominio metodo matematikoje populiarumas;Suvokimas, kad tuometinė mokyklinės matematikos programa neturėjo nieko bendro su šiais pasiekimais;Žemas matematikos mokymo lygis mokyklose.New

Math

judėjimas

~

1960-1970

Slide25

Judėjimą skatino greitų rezultatų siekis ir visuomenės, bei žiniasklaidos spaudimas. Mokyklinės matematikos programa buvo keičiama skubiai ir neapgalvotai, ne nuo pradinio mokymo, o kai kuriais atvejais pokyčiai pradėti nuo 10-12 klasių, vadovėliai nepatikrinti, mokytojai neparuošti.

Bet

New

Math judėjimas skirtingose valstybėse turėjo skirtingas pasekmes. New Math sužlugo dėl

Slide26

siekė padaryti MM glaudžiai susijusį su kasdieniniu gyvenimu, padaryti matematiką labiau praktine negu teorine. Kai

kurie

specialistai manė, kad matematikos

supratimas tariamai yra neįmanomas.

Todėl, pasak judėjimo dalyvių, pagrindinis dėmesys turi būti skiriamas išmokyti taikyti matematikos procedūras kasdieninėje žmogaus veikloje. Tačiau dėmesys ,,pagrindams“ nepagerino mokinių skaičiavimo įgūdžių.Back-to-basics j. ~1970-1980

Slide27

Pripažinta, kad išskirtinis dėmesys

,,

pagrindams”

buvo

klaida. Teigta, kad pagrindiniu MM tikslu turėtų būti ,,problemų sprendimo” įgūdžių ugdymas

.

Tačiau

,,

problemomis

”

vadintos

realaus

gyvenimo

kontekste

formuluojamos

procedūrinės

užduotys

buvo

tik

problemų

sprendimo

parodijomis

.

Problem-solving

j.~

1980-1990

Slide28

Prašoma apskaičiuoti stačiojo trikampio plotą, kurio įžambinės ilgis 8 cm ir į ją besiremiančios aukštinės ilgis 5 cm.

Daugelį

metų

mokiniai buvo teigiamai vertinami, jei jie padaugino 5 ir 8, bei padadalino iš 2 gaudami vadinamojo

,,

trikampio

”

plotą

20 cm

2

.

M

okytoj

ų požiūris:

,,

na

ir

kas

?”, ,,tai

visai

nerimta

klaida

”, ,,

reikia

džiaugtis

,

kad

mokinys

suskaičiuoja

plotą

pagal

žinomą

formulę

”.

M

ažiau

kaip

1%

mokytojų

sugebėjo įrodyti, kad toks statusis trikampis neegzistuoja.

U

ž

duoties

pvz.

1980

7 k

lasė

Slide29

Matematikos mokytojų nacionalinė taryba paskelbė naują programą Curriculum and Evaluation Standards

for

School

Mathematics. Matematinis samprotavimas tapo matematikos mokymo tikslu visose klasėse.

1-4 “draw logical conclusions about math…

5-8 “recognize and apply deductive and inductive reasoning…make and evaluate math conjectures and arguments”.

9-12 “…follow logical arguments, judge validity of arguments, construct simple valid arguments….”

Mathematics

Standards1989

-

2000

Slide30

Ankstesnės programos kontekste buvo diskutuojama dėl įrodymo vaidmens.Naujoji programa Principles and Standards

for

School Mathematics (2000) smarkiai sureikšmino įrodymo vaidmenį teigiant:“Instructional programs from prekindergarten

through

grade

12 should enable all students to recognize

reasoning

and

proof

as fundamental aspects of mathematics,…

“

Mathematics Standards 2000-2010

Slide31

Po 2000-ųjų metų, į diskusiją apie ,,standartus“ įsijungus matematikams, 2010 buvo sukurtas daugumai priimtinas variantas, vadinamas Common Core State

Standards

, kuriame iš esmės susitarta dėl to ką ir kaip mokyti

matematikoje ir anglų kalboje (kartu). Šiuose standartuose mokyklinė matematika tapo panašia į matematiką, t.y. joje atsispindi MS apie kurį rašau teksto pradžioje. Common Core

State

Standards

Slide32

Mokyklinės matematikos temų išdėstymas formuojantis sąvokų loginę struktūrą ir atsižvelgiantis į amžiaus grupės kognityvinius gebėjimus.Nepretenduoja į užbaigtą variantą.

Skirtas tolesniam tobulinimui.

Progressions Documents for CCMS

Slide33

MM tendencijos

JAV

ir

Suomijoje

Slide34

Suomio M. S. Hannula vertinimu (2009): Atrodo, kad Rytų Europa iš lėto gręžiasi į vakarus perimdama vakarietišką požiūrį ir tyrimų darbotvarkę. Rusija ir daugelis rytų Europos šalių vis dar randasi už vakarų mokyklos ribų.

Tose

šalyse didžiausią dėmesį susilaukia tik talentingų vaikų ugdymas ir jų ruošimas matematikos olimpiadoms.

MM Lietuvoje

Slide35

Lietuvoje nėra tinkamų sąlygų matematikos mokymo tyrimams. Būtent, Lietuvos mokslo klasifikatoriuje nėra ,,mathematics education“ dalies ir šios dalies darbai nėra teigiamai vertinami kitose srityse (matematika, socialiniai mokslai).

Taip

pat ,

dauguma ,,mathematics education“ dalies darbų publikuojama konferencijos darbuose, kurie neturi Impact Factor. Tai sukelia problemas norint vadovauti disertacijų rašymui.Mūsiškiai apie tokią situaciją

Slide36

,,Mathematics education“ yra matematikos klasifikatoriaus dalimi (97.XX):

Tačiau

97Axx

General, mathematics and education

97Bxx

Educational policy and systems

97Cxx

Psychology of mathematics education, research in mathematics education

97Dxx

Education and instruction in mathematics

Slide37

Klausimas ,,kodėl?“ yra svarbiausias matematikoje, o atsakymas į šį klausimą ieškomas samprotavimo būdu. Motyvacija mokytis matematikos atsiranda ją suprantant. Todėl

turime siekti supažindinti vaikus su šiais matematikos bruožais.

1

išvada

(iš penkių)

Slide38

Siekimas mokyti matematiką tik kaip pasaulio pažinimą, kasdieninio gyvenimo problemų sprendimą, fiziškai ar vizualiai pavaizduojamą yra bandymas apgauti save ir kitus. Kelis pastaruosius dešimtmečius mes kopijavome selektyviai pasirinktas priemones kitose šalyse pagal savo įsivaizduojamą matematikos vaidmenį visuomenėje. Nenuostabu, kad turime tas pačias

pasekmes

.

2

išvada (iš penkių)

Slide39

Lietuvoje beveik nėra profesionalų dirbančių mokyklinės matematikos turinio srityje (

su išimtimis, pvz. LEU

doc.dr

.

V.Grabauskienė). Todėl šiuo metu nėra galimybių tinkamai ruošti matematikos mokytojus. Taip pat neturime nei tinkamų matematikos vadovėlių, nei tinkamos jų keitimo sistemos.3 išvada (iš penkių

)

Slide40

Kokiu bus matematikos mokymas Lietuvoje ateityje priklauso nuo to ar sugebėsime sustoti, pažvelgti į save kritiškai ir pagalvoti kokia kryptimi turime eiti, jei norime išlikti pilnaverte tauta. Nuoširdus klaidų pripažinimas yra būtina sąlyga jas taisyti. Kol klaidos nėra pripažintos, tol nėra ką taisyti.

4

išvada (iš

penk

ių)

Slide41

Matematika yra loginė struktūra. Jos grąžinimui į mokyklos turinį reikia daug laiko. Pirmiausia turime sudaryti sąlygas atsirasti matematikos mokymo profesionalams. Toliau reikalinga paruošti detalų sąvokų loginės struktūros medį, paruošti medžiagą mokytojams, parašyti naujus vadovėlius pradedant pradiniu ugdymu ir atlikti eksperimentus mokyklose.

Reforma

gali vykti tik palaipsniui.

5

išvada (iš penkių)

Slide42

Lietuvoje, ruošiant matematikos mokytojus daroma prielaida, kad aukštosios matematikos žinios yra pakankamos įgyti dalykines kompetencijas. Tikima, kad aukštoji matematika savaime suteikia mokytojui elementariosios matematikos žinias. Tyrimai rodo, kad taip nėra.

Papildymas dėl mokytojų

Slide43

Paprastai, matematiką universitete baigęs mokytojas, elementariąją matematiką moko taip, kaip jis pats buvo mokomas kai mokėsi mokykloje, t.y. procedūras moko mintinai, be paaiškinimų. Norint ugdyti matematinį samprotavimą atsiranda būtinumas

būti

pasiruošusiam atsakyti į bet kurį su matematiniu samprotavimu susijusį klausimą.

Tokie klausimai

nebūtinai susiję su procedūromis. Matematikos žinios mokytojams

Slide44

Pastaraisiais dešimtmečiais sparčiai plėtojama taikomosios matematikos sritis, kurios tyrimo objektu yra matematikos žinios, kurios reikalingos matematikos mokytojui. Šios srities tyrimo objektu yra ,,matematika mokytojams“ (angl. Mathematics for

Teaching).

Ji

yra platesnė už MM turinį ir skiriasi nuo akademinės matematikos. Matematikos žinios mokytojams

Slide45

2008 metais atliktas 17 šalių pradinių klasių matematiko mokytojų matematikos turinio priklausomybė nuo jų ruošimo pobūdžio

tyrimas.

Tyrimo

išvada: matuojant matematikos turinio žinias, matematikos specializaciją turintys pradinių klasių mokytojai aukštą įvertinimą

gauna

dažniau

už

bendrojo

paruošimo

mokytojus

.

Tyrimas

Slide46

Ačiū už dėmesį

Slide47

,,Matematikai-teoretikai neturėtų primetinėti [mokyklinei matematikai] savo nuomonės. Ne visi vaikai stos į matematikos fakultetus. Nereikia mokinių atbaidyti nuo matematikos perdėtu jos sausumu ir griežtumu. Nereikia dar vienai mokinių kartai sukelti alergijos nesuprantamai, nesuvokiamai, su gyvenimu nesusijusiai matematikai dėl matematikos. Kas po to būna mes visi žinome iš savo tėvų, senelių, kitų artimųjų patirties”.

M

ūsų švietimo specialisto nuomonė