Elles sont obtenues par intersection dun plan avec un cône infini Une définition plus précise Une conique est le lieu géométrique des points du plan dont la distance à un point fixe ID: 289424
Download Presentation The PPT/PDF document "Les coniques" is the property of its rightful owner. Permission is granted to download and print the materials on this web site for personal, non-commercial use only, and to display it on your personal computer provided you do not modify the materials and that you retain all copyright notices contained in the materials. By downloading content from our website, you accept the terms of this agreement.
Slide1
Les coniques
Elles sont obtenues par intersection
d’un plan avec un cône infini.
Une définition plus précise :Une conique est le lieu géométrique des points du plan dont la distance à un point fixe égale le produit de leur distance à une droite fixe ne comprenant pas ce point par le réel .
Une conique est le lieu géométrique des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe ne comprenant pas ce point ont un rapport constant.
Foyer : c’est le point fixe
Directrice : la droite fixe associée au foyer
Excentricité
: rapport constant
Axe focal : droite perpendiculaire à la directrice passant par le foyer
Sommet : point d’intersection entre la conique et son axe focalSlide2
LA PARABOLE
Lieu des points situés à égale distance d’un point fixe F et d’une droite fixe d (Fd)L’axe focal est l’axe de symétrie de la paraboleLe sommet est le point commun de l’axe focal et de la paraboleL’excentricité vaut 1Pour représenter une parabole, il suffira de construire des cercles de centre F et de rayon variable r ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance r et d’en prendre les intersections.Slide3
EQUATION DE LA PARABOLE
=
Equation focale
Equation cartésienne réduiteSlide4
L’ELLIPSE :
Lieu des points du plan dont la distance à un point fixe F (foyer) vaut le produit de leur distance à une droite d (directrice), Fd, par un réel (excentricité) avec 0 < <1.Pour représenter une ellipse, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable k ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance k et d’en prendre les intersections.
Méthode 1 : un foyer, une directrice et l’excentricitéSlide5
L’ELLIPSE :
Lieu des points du plan dont la distance à deux points fixes F et F’ (foyers) ont une somme constante 2a.Pour représenter une ellipse, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable r et des cercles de centre F’ de rayon 2a - r et d’en prendre les intersections.
Méthode 2 : ses deux foyersSlide6
L’ELLIPSE :
L’axe focal est l’axe de symétrie déterminé par la droite passant par les foyers.L’axe non focal est déterminé par la médiatrice du segment de droite limité aux foyers.Le centre de symétrie correspond à l’intersection des deux axes de symétries.Les sommets qui sont aux nombres de 4, sont les points communs de l’ellipse et des axes de symétrie.La longueur de l’axe focal (distance entre les deux sommets du grand axe) vaut 2a.La longueur du petit axe vaut 2b.
PropriétésSlide7
EQUATION DE L’ELLIPSE (méthode 1)
P
Equation focale de l’ellipse
Equation cartésienne réduite de l’ellipseSlide8
EQUATION DE L’ELLIPSE (méthode 2)
Equation cartésienne réduite de l’ellipseSlide9
REMARQUESSi l’ellipse possède ses foyers sur l’axe des ordonnées, l’équation devient
Si a = b, l’équation devient x² + y² = a² qui est l’équation d’un cercle de centre (0,0) et de rayon a,Un cercle est donc une ellipse particulière.Slide10
L’HYPERBOLE :
Lieu des points du plan dont la distance à un point fixe F (foyer) vaut le produit de leur distance à une droite d (directrice), Fd, par un réel (excentricité) avec > 1.Pour représenter une hyperbole, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable k ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance k et d’en prendre les intersections.
Méthode 1 : un foyer, une directrice et l’excentricitéSlide11
L’HYPERBOLE:
Lieu des points du plan dont la distance à deux points fixes F et F’ (foyers) ont une différence, en valeur absolue, constante 2a.Pour représenter une hyperbole, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable r et des cercles de centre F’ de rayon 2a + r et d’en prendre les intersections.
Méthode 2 : ses deux foyersSlide12
L’HYPERBOLE :
L’axe focal est l’axe de symétrie déterminé par la droite passant par les foyers.L’axe non focal est déterminé par la médiatrice du segment de droite limité aux foyers.Le centre de symétrie correspond à l’intersection des deux axes de symétries.Les sommets qui sont aux nombres de 2, sont les points communs de l’hyperbole et de l’axe focal.La distance entre les deux sommets vaut 2a.
PropriétésSlide13
EQUATION DE L’HYPERBOLE (méthode 1)
P(
x;y
)
Equation focale de l’hyperbole
Equation cartésienne réduite de l’hyperboleSlide14
EQUATION DE L’HYPERBOLE (méthode 2)
Equation cartésienne réduite de l’hyperboleSlide15
REMARQUESi l’hyperbole possède ses foyers sur l’axe des ordonnées, l’équation devient
ou Slide16
SYNTHESE : comment reconnaître la nature d’une conique ?
Considérons la parabole de foyer et de directrice associée
Définition
P
Parabole (P,F) = (
P,d
)
Equation
y² = 2px
Sommet
un seul sommet : S(0,0)
Axe de
symétrie
un seul axe : OX
Excentricité
=
1
La parabole centrée en (x
c
,
y
c
) a pour équation (y –
y
c
)² = 2p(x – x
c)Slide17
Considérons 2 foyers F (c, 0) et F’ (–c, 0) et a > 0.
ELLIPSE
HYPERBOLE
Définition
P
Ellipse (P, F) + (P, F’) = 2a
P
Hyperbole |(P, F) - (P, F’)| = 2a
Conditions
a > c ;
b² = a² - c²
a < c ;
b² = c² - a²
Equation
ou
ou
Sommets
S
1
(a, 0); S
2 (–a, 0); S3 (0, b) et S
4 (0, –b)
S
1
(a, 0) et S2 (–a, 0)
Centre
(0,0)
Axes de symétrie
2 axes de symétrie : OX (axe focal) et OY (axe non focal)
Distance focale
2c tel que c =
2c tel que c =
Grand axe
2a
Petit axe
2b
Asymptotes
et
Excentricité
0 <
= < 1
= > 1
Directrices associées
et
L’ellipse/
hyperbole
centrée en (x
c
,
y
c
) a pour équation Slide18
Considérons l’équation
générale mx² + ny² = p avec m, n 0
et p
. Si m et n sont de même signe (mn > 0)
p = 0
conique dégénérée en un point (0,0)
p
0
signe de p opposé au signe de m et de n
conique vide
signe de p est celui de m et de n
m
n
m < n
ellipse (d’axe focal OX)
m > n
ellipse (d’axe focal OY)
m = n
cercle
Si m et n sont de signe opposé (mn < 0)
p = 0
conique dégénérée en 2 droites sécantes en (0,0)
p 0
signe de p est celui de m
hyperbole (d’axe focal OX)
signe de p est celui de n
hyperbole (d’axe focal OY)
m = -n
hyperbole équilatère
(
c.-à-d. asymptotes perpendiculaires)Slide19
Positions relatives d’une droite et d’une conique
Si la droite est parallèle distincte à une asymptote de l’hyperbole, alors la droite et l’hyperbole ont un point commun.
Si la droite est parallèle à l’axe focal de la parabole, alors la droite et la parabole ont un point commun.Slide20
Tangente à l’ellipse au point (r;s
)T y – s = f’(r) (x – r) et l’ellipse b² x² + a² y² = a² b²
s
> 0Or b2 r
2 + a
2
s
2
=
a
2
b
2
Donc T
b
2
r x
+
a
2
s y
–
a
2
b
2
= 0
s <
0
s = 0 donc r =
a
Il s’agit de tangentes verticales aux sommets de l’ellipse.
Les équations sont x = a et x =
–
aSlide21
Tangente à l’hyperbole au point (r;s
)T y – s = f’(r) (x – r) et
l’hyperbole
b² x² – a² y² = a² b²
s
> 0
Or b
2
r
2
–
a
2
s
2
=
a
2
b
2
Donc T
b
2
r x
–
a
2s y
– a2
b
2
=
0
s <
0
s = 0 donc r =
a
Il s’agit de tangentes verticales aux sommets de l’hyperbole.
Les équations sont x = a et x =
–
aSlide22
Tangente à la parabole au point (r;s
)T y – s = f’(r) (x – r) et la parabole y² = 2px
s
> 0Or s2
= 2pr
Donc T
s y = p (x + r)
s <
0
s = 0 donc r = 0
Il s’agit de la tangente verticale au sommet de la parabole.
L’équation est x = 0Slide23
Tangente à la conique à un point extérieur (r;s
)Pour déterminer les tangentes, il faudra résoudre le système suivant :
On recherchera uniquement les intersections qui donneront
un seul point commun, c’est-à-dire celle dont le réalisant sera nul.Slide24
Propriétés optiques des coniques
L’angle aigu
formé par les droites a et b est donné par la formule :
, où m
a
et m
b
sont les coefficients angulaires respectifs de a et b.
En effet, tan
= m
a
et tan
= m
b
et tan
= |tan (
–
)|.
Slide25
Propriété optique de la parabole
Soit le repère tel que l’équation est y² = 2px
Soit le point M (r, s)
et
Ainsi donc,
dans tout miroir parabolique,
a) tout rayon issu du foyer se réfléchit parallèlement à l’axe ;
b) tout rayon parallèle à l’axe se réfléchit en passant par le foyer.
La droite joignant un point quelconque de la parabole au foyer et la droite issue de ce point et menée parallèlement à l’axe de la parabole forment des angles aigus de même amplitude avec la tangente à la parabole en ce point.Slide26
Propriété optique de l’ellipse
Soit le repère tel que l’équation est b² x² + a² y² =a² b² Soit le point P (r, s)
Les droites joignant un point quelconque de l’ellipse aux foyers de celle-ci forment des angles aigus de même amplitude avec la tangente à l’ellipse au point considéré.
Ainsi donc,
dans tout miroir elliptique, tout rayon issu d’un foyer se réfléchit en passant par l’autre foyer.Slide27
Propriété optique de l’hyperbole
Soit le repère tel que l’équation est b² x² – a² y² =a² b²
Soit le point P (r, s)
Les droites joignant un point quelconque de l’hyperbole aux foyers de celle-ci forment des angles aigus de même amplitude avec la tangente à l’hyperbole au point considéré.
Ainsi donc,
dans tout miroir
hyperbolique,
tout rayon issu d’un foyer se réfléchit en passant par l’autre foyer.