[ matriks ] Ismail Saleh, SP., - PowerPoint Presentation

Slide1

[matriks]

Ismail Saleh, SP.,

M.Si

Slide2

PENDAHULUANMatriks merupakan

kumpulan

bilangan

yang

disusun

dalam

bentuk

persegi

panjang

atau

bujur

sangkar

Pemberian

nama

pada

matriks

ditulis

dengan

huruf

besar

,

misalnya

A, B, C, …, Z

dan

setiap

baris

mempunyai

baris

dan

kolom

Banyaknya

baris

dan

kolom

ini

menentukan

ukuran

dan

ordo

matriks

Misalnya

matriks

A

mempunyai

baris

sebanyak

m

dan

kolom

sebanyak

n,

maka

ukuran

atau

ordo

matriks

A

adalah

m x n

Slide3

PENDAHULUANSecara umum

dapat

ditulis

matriks A = (aij), dengan aij adalah elemen matriks AMatriks A dapat dituliskan sebagai berikut

 

Slide4

PENDAHULUANDidefinisikan

matriks

A = (

aij

) yang

berukuran 4 x 4 dengan Tentukan matriks A  

 

 

Slide5

PENDAHULUANSubmatriks dari

matriks

antara lain adalah , ,  

Slide6

Bentuk matriks khusus

Suatu

matriks

disebut matriks segi, jika banyaknya baris sama dengan banyaknya kolomSuatu matriks segi disebut dengan matriks segitiga atas, jika elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Sedangkan matriks segitiga bawah jika elemen di atas diagonal utama bernilai nol.Suatu matriks segi disebut dengan matriks identitas jika semua elemen diagonal utamanya bernilai satu sedangkan lainnya bernilai nol.

Slide7

Operasi matriksPenjumlahan

dan

Pengurangan

Matriks serta Perkalian dengan SkalarUntuk penjumlahan/pengurangan antara matriks A dan B harus memiliki ukuran yang sama. Penjumlahan/pengurangan matriks tidak dapat dilakukan jika kedua matriks berbeda ukurannyaHasil penjumlahan dan pengurangan diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak antara matriks A dan BPerkalian scalar k dengan matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan skalar k

Slide8

Operasi matriks

Penjumlahan

dan

Pengurangan

Matriks serta Perkalian dengan SkalarContoh Soal:Misalkan matriks A = dan B = , maka tentukan:A + B3B – 2A4A - B 

Slide9

Operasi matriksPenjumlahan

dan

Pengurangan

Matriks serta Perkalian dengan SkalarHukum-Hukum pada Penjumlahan dan Perkalian SkalarJika A, B, dan C adalah matriks-matriks berukuran sama dan k1, k2 skalar maka:(A + B) + C = A + (B + C)A + (-A) = OA + B = B + Ak1(A + B) = k1A + k1B0A = O; O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.

Slide10

Operasi matriks

Perkalian

Matriks

Tinjau

matriks A dan B dengan banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.Misalkan matriks A berukuran m x p dan B berukuran p x n, maka matriks hasil kali A dan B adalah berukuran m x nMisalkan matriks A = dan B = Hitunglah hasil perkalian AB

 

Slide11

Operasi matriks

Putaran/

Transpos

Matriks

Putaran/transpos suatu matriks A, ditulis AT adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti setiap baris A menjadi kolom atau sebaliknyaJika matriks A berukuran m x n maka matriks AT berukuran n x m.Contoh:

 

Slide12

Operasi matriksPutaran

/

Transpos

Matriks

Sifat-sifat matriks putaran(A + B)T = AT + BT(AT)T = A(kA)T = kAT(AB)T = BT AT

Slide13

Determinan matriks segi

determinan

matriks

segi

A, diberi notasi det(A) atau , didefinisikan sebagai bilangan real yang diperoleh melalui aturan tertentuUntuk matriks berukuran 1 x 1, determinannya didefinisikan sebagai berikutA = (a11), maka det(A) = a11Untuk matriks berukuran 2 x 2, determinannya didefinisikan sebagai berikut:Jika matriks A2x2 =

Maka

det

(A) = +a

11

a

22

– a

12

a

21

 

Slide14

Determinan matriks segi

Untuk

matriks

berukuran

3 x 3 maka penentuan determinan matriks sebagai berikut:Maka det(A) = (a11a22

a

33

+ a

12

a

23

a

31

+ a

13

a21a32) – (a13a22a31 + a

12

a

21

a

33

+ a

11

a

23

a

32

)

Metode

tersebut

dengan

metode

Sarrus

 

Slide15

Determinan matriks segi

Metode

Sarrus

hanya

dapat digunakan untuk matriks berukuran 3 x 3.Penghitungan determinan matriks dengan ukuran lebih besar cukup rumitSalah satu cara menentukan determinan suatu matriks segi adalah dengan minor-kofaktor elemen matriks tersebutHitung determinan matriks: 

Slide16

Determinan matriks segi

Misal.

Dengan

memilih

baris ke-2 sehinggaDalam hal ini

Jadi

,

Coba

dengan

menggunakan

pemilihan

baris

/

kolom

yang

berbeda

 

Slide17

Determinan matriks segi

Catatan

:

Dalam

pemilihan baris/kolom yang hendak diuraikan tidak perlu dipersoalkan, karena akan menghasilkan nilai det(A) yang samaAkan lebih mudah untuk menguraikan berdasarkan baris/kolom yang mempunyai banyak elemen nol.

Slide18

Determinan matriks segi

Beberapa

sifat

determinanJika matriks A memiliki suatu baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det (A) = 0Jika ada satu baris/kolom matriks A merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det (A) = 0Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian unsur-unsur diagonal utamanya

Slide19

Matriks inversMatriks segi

A

dikatakan

mempunyai

invers, jika ada suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I. matriks B dinamakan invers dari matriks A atau dapat ditulis B = A-1.Dari definisi tersebut tersirat bahwaAA-1 = A-1A = IDengan I adalah matriks identitas

Slide20

Matriks inversSifat-Sifat

Matriks

Invers

(A

-1

)-1 = A(AB)-1 = B-1A-1(AT)-1 = (A-1)T

Slide21

Matriks invers

Menentuka Invers

Matriks

dengan

Metode Matriks AdjoinMatriks CT disebut matriks adjoin dari matriks AContoh soal: Tentukan invers dari matriks 

Slide22

Matriks invers

Menentuka Invers

Matriks

dengan

Metode Matriks AdjoinPeriksa bahwa det (A) = -2, sedangkan matriks kofaktor dari matriks A adalahDengan demikian, invers matriks A adalah

 

Slide23

Matriks inversTentukan invers

matriks

A =

Tentukan

invers

matriks A = dengan ad – bc 0Tentukan matriks T sedemikian sehingga TA = B, jika

 

Slide24

Operasi baris dasar terhadap matriks

Suatu

matriks

dikatakan ekuivalen dengan matriks B, jika diperoleh dari A dengan menerapkan beberapa operasi yang disebut operasi dasarSuatu matriks dapat ekuivalen secara baris maupun kolom terhadap matriks yang lainnya. Jika ekuivalen secara baris, maka matriks itu diperoleh dengan operasi baris dasarDalam bab ini hanya akan dibahas mengenai operasi baris dasar

Slide25

Operasi baris dasar terhadap matriks

Jenis-jenis

operasi

baris

dasar terhadap matriks antara lain adalah:Saling menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j, diberi notasi Eij, dengan Mengalikan baris ke-i dengan suatu konstanta , diberi notasi Ei(k).Menempatkan atau mengisikan baris ke-i dengan k kali baris ke-j ditambah baris ke-i, diberi notasi

E

ij

(k)

dengan

.

Pada

notasi

di atas

diasumsikan

bahwa

i

, j <

10,

jika

>10

maka

penulisan

dipisahkan

dengan

tanda

koma

 

Slide26

Operasi baris dasar terhadap matriks

Secara

umum

serangkaian

operasi baris dasar yang dilakukan berturut-turut mulai dari E1, lalu E2, hingga Ep terhadap matriks A untuk mendapatkan matriks B dinotasikan dengan Misalkan matriks A =

Jika

,

tentukan

A

1

.

Jika

,

tentukan

A

2

.

Jika

rangkaian

OBD

dilakukan

berturut-turut

mulai

dari

E

12

,

E

13(2)

,

dan

E

2(-1)

tentukan

matriks

A

3

 

Slide27

Operasi baris dasar terhadap matriks

Misalkan

diberikan

matriks

A seperti di bawah iniLakukan operasi baris dasar sehingga diperoleh matriks segitiga atas dengan unsur diagonal utamanya 1.Misalkan diberikan matriks berikut

Lakukan

operasi

baris

dasar

sehingga

diperoleh suatu matriks segitiga bawah

 

Slide28

Pangkat/rank matriks

Misalkan A

matriks

berukuran

m x n. pangkat/rank matriks A, diberi notasi p(A), didefinisikan sebagai ordo terbesar anak matriks A yang determinasinya tidak nolTentukan pangkat matriks A3x3 berikut iniJawab:Diperiksa submatriks A yang berordo 3 yaitu matriks A sendiri ternyata det(A) = 0, karena baris pertama adalah kelipatan dari baris ke dua

 

Slide29

Pangkat/rank matriks

Kemudian

diperiksa

submatriks

berordo 2, salah satunya adalah matriks yang didapat dengan menghapus baris pertama dan kolom pertama dari matriks A. karena det(B) = -1 0 maka ada submatriks A yang berordo 2 dengan determinan tidak sama dengan nol (yaitu matriks B). Jadi pangkat matriks A adalah 2, atau p(A) = 2.Misalkan diberikan matriks A berikut ini

 

Slide30

Pangkat/rank matriks

Jawab:

Ambil

submatriks

dari matriks A yang berordo 2 (karena yang berordo 3 tidak ada) misalkan submatriks tersebut adalahKarena det(B) tidak sama dengan nol maka pangkat matriks A adalah 2Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkat matriks soal. 

Slide31

Sistem persamaan linear

Beraneka

ragam

masalah

dirumuskan secara matematis dalam bentuk sistem persamaan linearSuatu persamaan dalam n variabel x1, x2, …, xn dikatakan linear jika dituliska sebagaiDengan

dan

suatu

konstanta

real.

contoh

persamaan

linear

Contoh

persamaan

taklinear

 

Slide32

Sistem persamaan linear

Sistem

persamaan

linear (SPL) yang

terdiri

dari m buah persamaan dan n buah variable adalah satu system persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk:

Dengan

berupa

konstanta

,

sedangkan

merupakan

variabel

.

 

Slide33

Sistem persamaan linear

SPL

dapat

dituliskan

dalam bentuk catatan matriks sebagai berikut ini

Matriks

tersebut

disebut

dengan

matriks

gandeng

Jika

semua

nilai

sisi

kanan

suatu

SPL

bernilai

nol

maka

SPL

tersebut

dinamakan

SPL homogeny

Sebaliknya

jika

tidak

semua

nilai

sisi

kanannya

nol

maka

SPL

tersebut

dikatakan SPL tidak homogen 

Slide34

Sistem persamaan linear

Berikut

ini

diberikan

sebuah SPL tak homogeny dengan dengan 2 buah persamaan dan 3 buah variabel:SPL tersebut

dapat

dinyatakan

dalam

catatan

matriks

sbb:

Atau

dalam

matriks

gandeng

:

 

Slide35

Kekonsistenan spl

Suatu SPL yang

sekurangnya

mempunyai

satu penyelesaian dikatakan SPL yang konsisten, sedangkan SPL yang tidak memiliki penyelesaian disebut SPL yang tidak konsistenSuatu SPL AX = B dengan Amxn, dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks A sama dengan pangkat matriks yang diperbesarnya, yaitu Jika maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggalJika

maka

SPL

tersebut

mempunyai

banyak

penyelesaian

 

Slide36

Kekonsistenan spl

Periksalah

kekonsistenan

SPL

berikut

ini:

Jawab

:

 

Slide37

Kekonsistenan spl

Terlihat

dari

matriks

terakhir

bahwa

.

berarti

SPL

tersebut

konsisten

dan

karena

maka

penyelesaian

SPL

tersebut

adalah

tunggal

.

 

 

 

 

 

 

Slide38

Kekonsistenan spl

Periksalah

kekonsistenan

SPL di

bawah

ini 

Slide39

Penentuan penyelesaian Spl dengan metode

eliminasi

gauss

Ada

beberapa

metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian SPL AX = BDi sini hanya akan dibicarakan satu metode yaitu Metode Eliminasi GaussMetode ini menggunakan OBD yang telah dibahas sebelumnyaSPL baru yang diperoleh dengan OBD mempunyai penyelesaian yang sama dengan SPL sebelumnya.

Slide40

Penentuan penyelesaian Spl dengan metode

eliminasi

gauss

Contoh

soal:Sebuah yayasan social memiliki beberapa buah mobil bermerk Flamingo, Kasuari, dan Kolibri yang digunakan untuk mengangkut tiga macam sembako yaitu beras, gula pasir, dan tepung terigu. Mobil Flamingo mampu membawa 1 karung beras, 1 karung gula pasir, dan 2 karung tepung terigu; mobil Kasuari mampu membawa 1 karung beras dan 1 karung tepung terigu; sedangkan mobil Kolibri mampu mengangkut 2 karung beras

, 1

karung

gula

pasir

,

dan

3

karung

tepung terigu.

Slide41

Penentuan penyelesaian Spl dengan metode

eliminasi

gauss

Jika

yayasan tersebut ingin mengangkut 15 karung beras, 10 karung gula pasir, dan 25 karung tepung terigu secara bersamaan, maka berapakah banyaknya masing-masing jenis mobil yang diperlukan agar kemampuan maksimum masing-masing mobil dapat dipenuhi?Jawab:Tentukan dahulu variabel yang ingin diketahui dari masalah tersebut, misalnya:x = banyaknya mobil jenis flamingo yang diperlukany = banyaknya mobil jenis kasuari yang diperlukanz =

banyaknya

mobil

jenis

kolibri

yang

diperlukan

Slide42

Penentuan penyelesaian Spl dengan metode

eliminasi

gauss

Tentukan

batasan-batasan

yang harus dipenuhi. Kapasitas ketiga jenis mobil dalam mengangkut sembako diperlihatkan pada Tabel berikut:Kemampuan Mobil dalam Mengangkut SembakoBanyaknya sembakoFlamingoKasuariKolibriBeras112

15

Gula

Pasir

1

0

1

10

Tepung

Terigu

2

1

3

25

Slide43

Penentuan penyelesaian Spl dengan metode

eliminasi

gauss

Batasan yang

harus

dipenuhi adalah:Selain itu batasan ketaknegatifan harus dipenuhi yaituPenyelesaian SPL tersebut dapat dilakukan dengan

menggunakan

Metode

Eliminasi

Gauss

sehingga

akan

diperoleh matriks gandeng

 

Slide44

Penentuan penyelesaian Spl dengan metode

eliminasi

gauss

Terlihat

di

sini

bahwa

SPL

tersebut

konsisten

dan

penyelesaiannya

tidak

tunggal

.

Dengan

mengambil

,

dengan

bilangan

real

sembarang

maka

akan

diperoleh

.

Tetapi

batasan

ketaknegatifan

harus

diperiksa

sehingga

.

jadi

penyelesaian

masalah

tersebut adalah

 

 

 

 

 

Slide45

Latihan soalDalam

rangka

suatu

pesta, panitia membuat 2 jenis roti, yaitu Roti-1 dan Roti-2. untuk membuat 1 satuan Roti-1 dibutuhkan 1 satuan tepung terigu, 2 satuan telur, dan 1 satuan gula pasir. Sedangkan untuk membuat 1 satuan Roti-2 diperlukan 1 satuan tepung terigu, 3 satuan telur, dan 4 satuan gula pasir. Bahan yang tersedia adalah 30 sataun tepung terigu, 70 satuan telur, dan 60 satuan gula pasir. Jika semua bahan yang tersedia harus habis makaRumuskan bentuk

SPL yang

sesuai

dengan

masalah

di

atas

Tentukan

banyaknya Roti-1 dan Roti-2 yang diproduksi

Slide46

TERIMA KASIH