MATEMATIKA DISKRIT TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT - PowerPoint Presentation

Slide1

MATEMATIKA DISKRIT

TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT

Slide2

MATEMATIKA DISKRIT

3 SKS

Buku Teks

: Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H Rossen, McGraw-HillPenilaian : Tugas Kuis UTS UAS

Slide3

Materi Kuliah

Logic and proofs, Sets, and Functions

Algorithms, integers, and matrices

Mathematical reasoning, induction, and recursionCountingAdvanced counting techniquesRelationsGraphs

Trees

Slide4

LOGIKA DAN

EKUIVALENSI LOGIKA

Bab 1

Sub-bab 1.1 – 1.2

Slide5

Tujuan Instruksional khusus

Memahami tentang logika proposional

Memahami tentang penggunaan operator logika pada proposisi

Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional

Slide6

Logika

Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning)

Logika mempelajari penjabaran (

reasoning) secara benar Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: Dino adalah mahasiswa UB. Semua mahasiswa UB pandai. Dino orang pandai.Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.

Slide7

Proposisi

Proposisi

merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan

huruf

p, q, dsb

.

Biasanya

berbentuk

kalimat

deklaratif

Contoh

bukan

proposisi

:

Berapa

harga

tiket

ke

Malaysia?

Silakan

duduk

.

Slide8

MACAM PROPOSISI

Kalimat

deklaratif yang tidak memuat penghubung disebut proposisi (primitif ) ex: 2 adalah Bilangan bulat

Kalimat

deklaratif

yg

memuat

penghubung

”

atau

” “

dan

” ”jika maka” disebut proposisi majemuk (compound) ex:Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tenis

Slide9

Konektif

Jika

p

dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan menggunakan konektif Macam-macam

konektif

:

NOT (negasi

)

Simbol



atau

‾

AND (

konjungsi

)

Simbol

^ Inclusive OR (disjungsi) Simbol vExclusive OR Simbol Implikasi Simbol Implikasi ganda Simbol 

Slide10

Tabel Kebenaran

Negasi

p



p

0

1

1

0

Contoh:

p = Jono seorang mahasiswa



p = Jono bukan seorang mahasiswa

Slide11

Tabel

Kebenaran

Konjungsip

q

p



q

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Contoh :

p = Harimau adalah binatang buas

q = Malang adalah ibukota Jawa Timur

p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur

p ^ q salah.

Perhatikan bahwa

tidak perlu

ada keterkaitan antara p dan q

Slide12

Tabel Kebenaran

Disjungsi (

Inclusive OR

)p

q

p v q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Contoh:

p = Jono seorang mahasiswa

q = Mira seorang sarjana hukum

p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum

Slide13

Tabel Kebenaran

Exclusive Disjunction

“

Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q

p



q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar

p = "John is programmer, q = "Mary is a

l

awyer"

p  q = "

Either

John is a programmer

or

Mary is a lawyer"

p

q

p



q

0

0

0

0

1

1

1011

1

0

Slide14

Kalimat majemuk

(

compound statements)

p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements)Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai.Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti:(p

q)^r

p

(q^r)

(p)( q)

(pq)^( r)

dll

Slide15

Tingkat Presedensi

Urutan

penyelesaian logika jika menemui proposisi majemuk

Slide16

Tabel Kebenaran

(p

  r)  q

p

q

r

(p





r)



q

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

Slide17

HITUNG

p

q

p



q



p



q

(p





q) v (



p



q)

0

0

0

1

1

0

1

1

Lengkapilah

tabel

dibawah

ini

serta

berikan

kesimpulan

akhirnya

Slide18

Implikasi

Disebut juga proposisi kondisional (

conditional

proposition) dan berbentuk “jika p maka q” Notasi simboliknya : p  qContoh: p = Jono seorang mahasiswa

q = Mira seorang sarjana hukum

p

 q = Jika Jono seorang mahasiswa maka

Mira

s

eorang

sarjana hukum

Slide19

Tabel Kebenaran

Implikasi

p

q

p

 q

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

Slide20

Hypotesa dan konklusi

Dalam implikasi p

 q

p disebut antecedent, hypothesis, premise q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent, conclusion)

Slide21

Perlu dan Cukup

Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi.

Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa.

Perlu = necessary; Cukup = sufficientContoh: Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukumKondisi perlu: Mira seorang sarjana hukumKondisi cukup: Jono seorang mahasiswa

Slide22

Tabel kebenaran

Implikasi Ganda (Biimplikasi)

Implikasi Ganda (

double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q”Notasi simboliknya p  q

p

q

p

 q

(p  q) ^ (q  p)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Slide23

KESIMPULAN BIIMPLIKASI

p

 q

ekivalen dengan (p  q)^(q  p)p

q

p

 q

(p  q) ^ (q  p)

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

Slide24

Ekivalensi Logikal

Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik

disebut ekivalen (

logically equivalent). Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p  q

p

q



p

 q

p

 q

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

Slide25

Konversi dan Inversi

Konversi dari p

 q adalah q  p

Inversi dari p  q adalah  p   qApakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!!

Slide26

Kontrapositif

kontrapositif dari proposisi p

 q adalah  q   p

Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p  q dan  q   p ekivalen???

Slide27

JAWAB KONTRAPOSITIF

p

 q dan  q   p ekivalen

p

q

p

 q



q 



p

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

Slide28

Ekivalensi

Nama

p



T

 p

p



F

 p

Identity laws

p



T

 T

p



F

 F

Domination laws

p



p

 p

p



p  pIdempotent laws(p)  pDouble negation lawsp

 q  q  pp

 q  q  p

Commutative laws

(p



q)

 r

 p  (q  r)

(p



q)

 r

 p  ( q  r)

Associative laws

Ekivalensi Logika

Slide29

Ekivalensi Logika

Ekivalensi

Nama

p

 (q  r)

 (p  q)  (p  r)

p



(q

 r)

 (p  q)  (p  r)

Distributive laws

(p

 q)  ( p)  ( q)

(p



q)  ( p)  ( q)

De Morgan’s laws

p

 (p  q)

 p

p

 (p  q)  pAbsorption lawsp  p  Tp  p  F

Negation laws

Slide30

Ekivalensi Logika

Ekivalensi

p

 q  p  q

p

 q  q

 p

p  q  p

 q

p



q

 (p

 q)

(p

 q) 

p

 

q

(p

 q)  (p

 r)  p  (q  r)(p  r)  (q  r)  (p  q)  r(p  r)  (q  r)  (p  q)  r(p  r)  (q  r)  (p  q)  r(p  q)  (p  r)  p

 (q  r)

(p  r)  (q  r)  (p

 q)



r

Ekivalensi

p

 q  (

p

 q)  (q

 p)

p

 q  p

 q

p

 q  (p  q)  (p  q) (p  q)  p   q

Slide31

Tautology

Proposisi yang selalu bernilai

benar (

true) dalam keadaan apapunContoh: p  p v qp

q

p



p v q

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Slide32

Kontradiksi

Proposisi yang selalu bernilai

salah (

false) dalam keadaan apapunContoh : p ^  p

p

p ^ (



p)

0

0

1

0

Slide33

Latihan-1

Dari

bbrp

kalimat dibawah ini mana yang termasuk proposisi ? Tentukan nilai kebenaran dari proposisi tsb.

7

merupakan

sebuah

bilangan

prima.

Jangan

lakukan

.

Jika

10

habis

dibagi dengan 4, maka juga habis dibagi dengan 2.

x + y = y + x

untuk

setiap

pasangan dari bilangan real x dan yJam berapa sekarang?

Slide34

Latihan

2. Tentukan apakah (

p  (p  q))  q adalah tautologi?

3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p  q b. (p  q)  (p  q) c. (p  q) ^ (q  p)