MATRICES Y DETERMINANTES

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MATRICES

Y

DETERMINANTES

MATRICES

Una matriz es todo arreglo rectangular de números reales definidos en filas y/o columnas entre paréntesis o corchetes. Así tenemos:

NOTACION MATRICIAL

Las matrices se denotan por letras mayúsculas y los elemento se designan con a

ij.

Donde:

i = es la i – ésima fila o renglón j= es la j – ésima columna

NOTACION MATRICIAL

Así notamos:En la matriz A:

a

11

=5

Columna 1

Fila

1

Así notamos:

En la matriz B: b

21

=2

Columna 1

Fila

2

NOTACION MATRICIAL

FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ

El arreglo de los elementos en cualquier línea horizontal forman un renglón o fila de la matriz. Ej

:

Renglón o fila 1

Renglón o fila 2

Renglón o fila 3

FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ

El arreglo de los elementos en cualquier línea vertical forman un columna de la matriz. Ej

:

Columna 1

Columna 2

DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ

Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:

A tiene 3 filas y 2 columnas

De:

tenemos:

DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ

Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:

B tiene 2 filas y 3 columnas

De:

tenemos:

DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ

Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:

A tiene 3 fila y 3 columnas

De:

tenemos:

En las siguientes alternativas entre paréntesis ponga V si es verdadero y F si es falso

a

22

= b

22

a

12

< b

21c) a

23 + b12= a13

d) a12+ a23

> b12e) A (aij)3x2 f) B (bij)

)

2x2

g) Los elementos del primer renglón de la matriz A son 2y 1

(V)

(V)

(V)

(V)

(F)

(F)

(F)

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ VECTOREs un arreglo que tiene únicamente un renglón o una columna. Ej:

Matriz

renglón

Matriz

columna

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ RECTANGULAREs una matriz cuyo número de renglones es diferentes de las columnas, es decir

m n

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ NULA O CEROEs una matriz con todos los elementos ceros. Ej

:

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ CUADRADAEs una matriz que tiene el mismo número de renglones y columnas es decir m=n. Ej:

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ TRIANGULAR

Estas matrices se dividen en:

Matriz Triangular superior

Matriz Triangular Inferior

.

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOREs una matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal

o secundaria iguales

a cero. Esto es

a

i

j=0 si i > j.

Ej:

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOREs una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a cero. Esto es a

i

j

=0 si i < j. Ej:

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ SIMETRICAToda matriz cuadrada es simétrica, si los elementos opuestos respecto a la diagonal principal

o secundaria son

iguales, es decir a

12

=a21

, a32 = a

23. etc .

Ej:

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ DIAGONALEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y debajo de la diagonal principal igual a cero. Esto es

a

ij

=0 si i = j.

Toda matriz diagonal es una matriz triangular superior e inferior a la vez.

Ej:

Nota:

Algún elemento de la diagonal principal puede ser cero, pero no todos

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ ESCALAREs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y debajo de la diagonal principal igual a cero, y los elementos de la diagonal principal son iguales entre sí. Esto es a

ij

=0 si i = j, a

ij

=

k con k Ej:

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ IDENTIDADEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1 y se denota

I

nxn

.

Ej:

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ TRANSPUESTA

Sea A una matriz de orden m x n, la transpuesta “A” es de orden n x m, es decir las filas se transforman en columnas. La matriz transpuesta se denota

Ej

:

Sea hallar

F1 = C1

F2 = C2

F3 = C3

TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

MATRIZ ANTISEMETRICA

Es una matriz cuadrada cuyos elementos opuestos a la diagonal principal, son valores opuestos

. Los elementos de la diagonal son todos cero

En la matriz

antisimétrica

se cumple que:

1.

2.

IGUALDAD DE MATRICES

MATRIZ ANTISEMETRICA

Dos matrices son iguales si:

Tienen igual dimensión.

Los elementos correspondientes son iguales.

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