Chapitre 5 Les fonctions exponentielles et logarithmiques MCV4U 51 Les taux de variation et le nombre e Exploration A À laide de Géogebra esquisser les dérivées des fonctions suivantes ID: 762529
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Chapitre 5: Les fonctions exponentielles et logarithmiques MCV4U
5.1: Les taux de variation et le nombre e
Exploration A À l’aide de Géogebra , esquisser les dérivées des fonctions suivantes: Analyse le taux de variation instantané de la fonction selon la forme de son graphique. Quelle conclusion peux-tu tirer au sujet de la nature de la dérivée d’une fonction exponentielle?
Que remarquez-vous? En rouge = fonction de base. Que remarquez-vous?
Exploration B: Quelle est la valeur du nombre e?
Concepts-clés * La valeur de e est entre 2,71 et 2,72. Le taux de variation d’une fonction exponentielle est elle aussi exponentielle. Si , alors . Numberphile : https://www.youtube.com/watch?v=AuA2EAgAegE
À ton tour! p.257 #3, 4, 5, 6
5.2: Le logarithme naturel
Exemple #1 (p.259) RA: Identifier les caractéristiques de ln(x). Voici le graphique de la fonction et de sa réciproque. Indique les caractéristiques principales de chaque graphique. Domaine ImageCroissance/décroissanceOrdonnée à l’origineAbscisse à l’origineAsymptotesMaximum/minimumPoint d’inflexionConcavité
Exemple #2 (p.262) RA: Évaluer . Évalue chaque expression au millième près. Utilise la touche e sur ta calculatrice graphique!
Exemple #3 (p.262) RA: Évaluer . Évalue chaque expression au centième près. Utilise la touche ln sur ta calculatrice graphique!
À ton tour! p.265 #5, 6, 7
Notes *
Exemple #4 (p.263) RA: Résoudre des problèmes avec e. La population d’une colonie bactérienne en fonction du temps correspond à l’équation , où représente la population au bout de jours. Quelle est la population initiale de la colonie bactérienne? Estime la population au bout de 3 jours. En combien de temps la population de la colonie doublera-t-elle? Récris cette fonction sous forme d’une fonction exponentielle de base 2.
À ton tour! p.265 #8, 9, 11
5.3: Les dérivées des fonctions exponentielles
Introduction Dans la dernière section, nous avons découvert que si , alors . K = Étirement vertical.
Exploration Que se produit-il à chaque étape? (voir tableau) Explique en quoi la limite de la dernière ligne est reliée à la valeur de k de l’équation , présentée dans l’introduction. Après ma démonstration, prenez un portable et faites les exercices p.269 #4, 5, 6.
La dérivée d’une fonction exponentielle * Si , alors .
Exemple #1 (p.270) RA: Déterminer la dérivée d’une fonction exponentielle. Détermine la dérivée de chaque fonction.
À ton tour! p.274 #1, 2
Exemple #2 (p.271) RA: Déterminer l’équation d’une tangente. Détermine l’équation de la tangente à la courbe de au point où .
À ton tour! p.274 #3, 4, 5
Exemple #3 (p.273) RA: Résoudre des problèmes. Des biologistes étudient la croissance de la population d’un certain insecte dans un parc. La population triple toutes les semaines. Suppose qu’elle continue d’augmenter à ce taux. Au départ, il y a 100 insectes. Détermine le nombre d’insectes au bout de 4 semaines. À quel rythme le nombre d’insectes augmente-t-il: Lors de la découverte de cette population? Quatre semaines plus tard?
5.4: Les règles de dérivation pour les fonctions exponentielles
Exemple #1 (p.277) RA: Utiliser les règles de dérivation. Détermine la dérivée de chaque fonction.
À ton tour p.282 #2, 3
Exemple #2 (p.278) RA: Déterminer les extremums d’une fonction exponentielle. Détermine les extremums locaux de la fonction .
À ton tour! p.282 #4
Exemple #3 (p.280) RA: Analyser la dépréciation d’une motocyclette. Laura vient d’acheter une motocyclette neuve au prix de 10 000$. La valeur de sa motocyclette diminuera avec le temps. On peut modéliser cette dépréciation par la fonction ., où V représente la valeur de la motocyclette au bout de t années.Quel est le taux de dépréciation au moment où Laura en prend possession?Laura décide d’annuler son assurance collision lorsque sa motocyclette n’aura plus que le quart de sa valeur initiale. À quel moment Laura annulera-t-elle cette assurance?
À ton tour! p.283 #7-8
5.5: Établir des liens: les modèles exponentiels
Exemple #1 (p.285) RA: Application médicale. On utilise un isotope radioactif de l’or ( pour le diagnostic et le traitement du cancer du foie. Suppose qu’on injecte dans un foie 6,0 mg d’or 198 et qu’il n’en reste que 4,6 mg au bout de 1 journée. La quantité restante d’or 198 au bout de jours correspond à . Détermine la constante de désintégration de l’or 198. Détermine la demi-vie de l’or 198. Rédige une équation qui indique la quantité restante d’or 198 en fonction du temps, selon sa demi-vie. À quel taux l’échantillon se désintègre-t-il au bout de 3 jours?
Exemple #2 (p.286) RA: Application dans les amortisseurs d’automobiles. Le déplacement vertical de la carrosserie d’un véhicule sport après avoir roulé sur une bosse est défini par la fonction , où représente le déplacement vertical en mètres, au temps en secondes. Trace le graphique de cette fonction et décris sa forme. Détermine le moment où le déplacement de la carrosserie du véhicule atteint son maximum. Détermine le déplacement maximal.
À ton tour! p.289 #1 à 4