É tude mathématique Approche par les suites tableur On note lépaisseur de glace en m formée au bout de n secondes Alors 0 Daprès la formule écrite sur tableur ID: 480941
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Formation d’une couche de glace à la surface d’un lac
É
tude mathématiqueSlide2
Approche par les suites (tableur)
On note l'épaisseur de glace (en m) formée au bout de n secondes. Alors = 0.D'après la formule écrite sur tableur : + pour tout n.
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On pose : + = + = +
+ + pour tout n > 0 On étudie donc la suite () définie par : = et + pour n > 0 avec a = ≈
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Exemples de suites
avec avec Slide5
=
avec = 0,7 Slide6
et
+ Slide7
=
et + avec a ≈
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Recherche de la limite de La suite () est strictement croissante sur N. Elle n'a donc que deux options : - diverger vers +∞ ou - converger vers une limite finie x.Si on suppose qu'elle converge, x vérifie l'équation : x = x + qui n'a pas de solution. On en déduit que = +∞.
Comme
– on aura aussi lim = +∞. Slide9
Recherche d’une formule pour ▪ + )² = + 2. 2a =
≈ 3. et = ≈.Si on néglige le dernier terme, on obtient une suite () proche de () qui vérifie : + 2a pour tout ndonc la suite ( Slide10
On obtient :
d’où (car ) avec pour tout entier
n
≥ 0. = si on pose s = = . On a bien lim = +∞. Slide11
Prenons
n = : l’erreur sur est inférieure à .Pour n = 3600 : l'erreur sur est inférieure à . Pour le passage au modèle continu, on prendra ≈
pour
n ≥ 0 avec s = . Slide12
Sur tableur, on obtient :
+
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Modèle continu, p
réambule : On a montré que (t) = où (t) = taux d'accroissement entre t et t + dt. Si on passe à la limite quand
dt
tend vers 0, on obtient : h'(t) = . On cherche donc une fonction h dérivable sur [0 ; +∞[ qui vérifie cette condition, avec h(0) = 0. Slide14
Méthode
1 On reprend la formule trouvée avec les suites où n est le nombre de secondes écoulées : n = t. Alors h(t) = pour t ≥ 0 avec s = . Cette fonction est bien dérivable sur [0 ; +∞[ et on peut montrer qu'elle vérifie la condition sur la dérivée et h(0) = 0.
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Méthode 2
On cherche une fonction h dérivable sur [0 ; +∞[ telle que h'(t)× (αh(t) + K) = soit 2αh'(t)×(αh(t) + K) = . On reconnaît la forme 2u'(t)×u(t), dérivée de
u
²(t) alors (u²(t))' = pour tout t ≥ 0.Or, les seules fonctions dont la dérivée est constante sont les fonctions affines. Slide16
Alors
u²(t) = × t + C = (αh(t) + K)².Or, pour t = 0, h(0) = 0 donc : K² = C. Donc (αh(t) + K)² = × t + K² = K² (
× t + 1) = K²(1 + st). On retrouve h(t) = pour t ≥ 0 avec s = . Slide17
Etude
des fonctionsFonction h : h(t) = pour t ≥ 0 h'(t) = . ▪ h'(t) > 0 avec
donc la fonction
h est croissante sur [0 ; +∞[.▪ De plus on montre facilement par composition que car s > 0. Slide18
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Fonction
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▪ Comme
s > 0 : la fonction affine t → 1 + st est croissante sur [0 ; +∞[, par composition :la fonction : t → est croissante, et la fonction : t → est décroissante. Comme :la fonction : t →
est aussi décroissante.Alors la fonction est décroissante sur Slide21
▪ De plus, comme
s > 0 :donc