Topologie algèbre et géométrie Hassan AAYA UNIVERSIT É HASSAN II FACULTE DES SCIENCES CASABLANCA Sommaire Introduction Formes différentielles Algèbres différentielles graduées Lemme de Poincaré et ID: 581200
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Conjecture H:Topologie, algèbre et géométrie.
Hassan AAYA
UNIVERSIT
É
HASSAN II
FACULTE DES SCIENCES
CASABLANCASlide2
SommaireIntroduction
Formes différentiellesAlgèbres différentielles graduéesLemme de Poincaré et
cohomologie de de RhamLien avec la topologie : et groupes d'homotopie supérieurs La théorie de Quillen-Sullivan et Le théorème de
Quillen-Sullivan surPasser des réels aux rationnels :Triangulation, modèle de SullivanLa conjecture H.Slide3
IntroductionSlide4
Ce résultat a été démontré par M. Hilali pour le cas des espaces pures en 1990, et puis par MM. Hilali
et Mamouni en 2008 pour le cas hyper-elliptique sous des conditions spécifiques et d’autres types d’espaces topologiques, avant
d’être démontré en 2012 par des espagnoles dans le cas hyper-elliptique.
Introduction
Historique:Slide5
Le calcul des groupes d’homotopie d’ordre supérieur est un problème fondamental de la topologie algébrique. Mais, curieusement, on ne sait même pas calculer les groupes d'homotopie des sphères:
IntroductionSlide6
A part quelques cas:
IntroductionSlide7
Formes différentiellesUne forme différentielle de degré 1 sur un ouvert de est une expression de la forme
Où sont des fonctions sur cet ouvert.Slide8
Formes différentiellesUne forme différentielle de degré n ≥1, sur une variété X consiste en la donnée en chaque point x d'une forme n-linéaire alternée sur l'espace tangent en x. En coordonnées :Slide9
Formes différentiellesOn note l'ensemble des formes différentielles de degré n≥1, l'anneau des fonctions . On note la somme directe des .Slide10
Algèbres différentielles graduéesSlide11
Algèbres différentielles graduées
Si on a
AlorsSlide12
ExempleADG de KoszulSlide13
On vérifie par le calcul que soit Donc
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham. Slide14
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham. Slide15
Autrement dit, le nième groupe de cohomologie matérialise l'obstruction pour qu'une forme régulière fermée sur X soit exacte
Lemme de Poincaré et cohomologie de De Rham
. Slide16
Lemme de Poincaré et cohomologie
de De Rham. Slide17
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieursSlide18
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieursSlide19
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieursSlide20
Groupes d’homotopie des sphères :
Lien avec la topologie et groupes d'homotopie supérieursSlide21
La théorie de Quillen-SullivanSlide22
La théorie
de Quillen-SullivanSlide23
La théorie
de Quillen-SullivanSlide24
La théorie
de Quillen-SullivanSlide25
La théorie de Quillen-SullivanSlide26
Passer des réels aux rationnels :TriangulationSlide27
Passer des réels aux rationnels :TriangulationSlide28
Passer des réels
aux rationnels :TriangulationSlide29
Passer des réels aux rationnels :Triangulation
Comment?Slide30
Comment?
Passer des
réels aux rationnels :TriangulationSlide31
Passer des réels
aux rationnels :Triangulation
Comment?Slide32
Passer des réels
aux rationnels :Triangulation
Comment?Slide33
Passer des réels
aux rationnels :TriangulationSlide34
Conjecture H