Semester Ganjil 2011 1 Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson Interarrival and waiting times t X t S 1 S 0 S 2 S 3 W 1 W 2 W 3 W 4 1 2 3 4 W 0 X t ID: 560544
Download Presentation The PPT/PDF document "Proses Stokastik" is the property of its rightful owner. Permission is granted to download and print the materials on this web site for personal, non-commercial use only, and to display it on your personal computer provided you do not modify the materials and that you retain all copyright notices contained in the materials. By downloading content from our website, you accept the terms of this agreement.
Slide1
Proses Stokastik
Semester Ganjil 2011
1Slide2
Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson:
Interarrival
and waiting times
t
X
(
t
)
S
1
S
0
S
2
S
3
W
1
W
2
W
3
W
4
1
2
3
4
W
0
X
(
t
):
Jumlah kedatangan sampai dengan waktu
t
,
d
engan laju
λ
W
n,
n =
0, 1, …:
Waktu tunggu sampai
dengan kedatangan ke
n
Sn, n =0, 1, …: Waktu antar kedatangan (interarrival times), atau sojourn timeSlide3
Waktu antar Kedatangan (
Interarrival Times): Sojourn times
Waktu antar kedatangan
S
0
,
S1,
… adalah peubah acak exponential yang saling bebas dengan rata-rata 1
/ (i.i.d):
Jika tidak terdapat kedatangan sampai dengan waktu
t
berarti bahwa:
Waktu tunggu (
waiting time) dari kedatangan pertama (
W1)
atau sistem sojourn pada state 0 (
S0)
lebih dari t
Funsi Sebaran Kumulatif (cdf) dari sebaran
exponential
dengan rata-rata (mean) 1/λSlide4
Waktu Tunggu (Waiting Time
)
Waktu tunggu adalah jumlah dari
n
waktu antar kedatangan (interarrival/sojourn times).
Waktu antar kedatangan (interarrival times) menyebar secara exponential
Dengan pendekatan fungsi pembangkit moment:
Fungsi pembangkit moment dari
sojourn times
, SSlide5
Fungsi pembangkit moment dari
waiting time
,
W
Dengan sifat i.i.d. dari
sojourn
times
Yang merupakan fungsi pembangkit momen dari sebaran
Gamma (n, λ), dengan fungsi:Slide6
Ringkasan
Jika jumlah kedatangan sampai dengan waktu
t
,
X(t) adalah proses Poisson dengan laju
λMaka waktu antar kedatangan (interarrival times),
S akan menyebar secara exponential dengan rata-rata (mean) 1/ λDan waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n,
W mempunyai sebaran gamma dengan parameter (n,
λ)Slide7
Contoh
Suatu sumber radioaktif memancarkan partikel mengikuti proses Poisson dengan laju
λ
=2
partikel per menit.
Berapa peluang bahwa partikel pertama akan muncul setelah tiga menit?Slide8
Berapa peluang bahwa partikel pertama muncul setelah menit ke-3 menit akan tetapi sebelum menit ke-5?Slide9
Proses Poisson dan Sebaran Binomial
Teorema
Diberikan
X(t) suatu proses Poisson dengan laju
λ>0, maka untuk 0<u
<t dan 0 ≤
k ≤n
Bukti:Slide10Slide11Slide12Slide13
Contoh:
Jika 6 pelanggan datang pada setelah 3 jam fasilitas dibuka, berapa peluang bahwa terdapat 2 pelanggan datang selama jam pertama fasilitas tersebut dibuka?
X
(t):
jumlah kedatangan pelanggan ke suatu fasilitas
umum
Adalah
proses Poisson dengan laju
=2
pelanggan/jam
0<
1
<
3
and 0
≤
2
≤
6Slide14Slide15
Definisi Proses Kelahiran dan Kematian
(Birth and Death Process
)
Adalah proses Markov untuk waktu kontinyu
X
(t) dengan
:State space yang bersifat diskrit
Kemungkinan state: i = 0, 1, 2, ... s
edemikian sehinggaTransisi state hanya mungkin terjadi antara state yang bertentangga , i→ i+1 or i
→ i-1Transisi tersebut terjadi pada selang waktu tertentu dari t
sampai dengan (t+
∆t)Slide16
Birth and Death Process
Digunakan untuk memodelkan
Proses reproduksi organisme
Penyebaran penyakit menular
Sistem antrianSlide17
Laju transisi:
Ketika sistem berada pada
state
i
Peluang
kelahiran pada selang waktu
∆
t
adalah
λ
i∆t
Peluang kematian pada selang waktu ∆
t adalah μ
i∆t Slide18
Peluang
Equilibrium Probability dari Birth
and Death Process
Adalah peluang dari proses berada di
state
i, tanpa tergantung waktuPada saat equilibrium total aliran peluang (
net flow) adalah 0
S
tate 0
dapat dijangkau
dari
state
1 dengan peluang
π
1
dan laju
μ
1State 0 dengan peluang
π0 dapat berubah menjadi state 1
dengan laju λ
0
Secara umum
:
S
tate k
dapat dijangkau
dari
k+
1
dengan
peluang
πk+
1 dan laju
μ
k+1State k dengan peluang π
k dapat berubah menjadi state k+1
dengan laju λk Slide19
Hubungan berikut mendefinisikan
net
flow balance
:
Dst secara rekursif:Slide20
Dengan batasan sedemikian sehingga fungsi peluang dapat terdefinisi dengan baik:
π
0
menentukan syarat di atasSlide21Slide22
Contoh:
Proses kelahiran dan kematian berawal dari
X
(0
)=0 dan
0, 1, 2, 3 adalah kemungkinan state , dengan parameter kelahiran dan kematian
Berapa peluang bahwa
pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state 0?Slide23
Berapa peluang bahwa pada
kondisi equilibrium proses akan berada pada state
1
?