Chapitre 6: Fonctions exponentielles et logarithmiques - PowerPoint Presentation

Chapitre 6: Fonctions exponentielles et logarithmiques MHF4U

Quelques attentes Établir le lien entre les logarithmes et les exposants. Évaluer des logarithmes simples. Évaluer des logarithmes en utilisant les exponentielles réciproques. Établir des liens entre les lois des exposants et les lois des logarithmes.

6.1: La fonction exponentielle et sa réciproque

Différence entre A et B? A B 1, 3, 9, 27, 81 1, 5, 25, 125, 625 5, 10, 20, 40, 80 1, 3, 5, 7, 9 1, 5, 9, 13, 17 5, 10, 15, 20, 25

Différence entre A et B? Suite géométrique Suite arithmétique 1, 3, 9, 27, 81 1, 5, 25, 125, 625 5, 10, 20, 40, 80 1, 3, 5, 7, 9 1, 5, 9, 13, 17 5, 10, 15, 20, 25

S’agit-il d’une fonction exponentielle? X Y 0 1 1 4 2 16 3 64

S’agit-il d’une fonction exponentielle? X Y Δ 1 y 0 1 1 4 3 2 16 1236448 X 4 X 4 Oui, il s’agit d’une fonction exponentielle, car les valeurs de y s’accroissent à un rythme proportionnel à la fonction. Les différences finies suivent une suite géométrique .

Détermine l’équation de la fonction représentée (y=b x ) X Y 0 1 1 4 2 16 3 64

Caractéristiques d’une fonction exponentielle y = b x * Les différences finies forment une suite géométrique . Le taux de variation croît proportionnellement à la fonction lorsque b > 1. Le taux de variation décroît proportionnellement à la fonction lorsque 0 < b < 1.

Caractéristiques de y=b x ? * Quand b > 1 Quand 0 > b > 1 Domaine: Image: Ordonnée à l’origine: Asymptote: Domaine:Image: Ordonnée à l’origine: Asymptote:

Caractéristiques de y=b x ? * Quand b > 1 Quand 0 > b > 1 Domaine: Réels Image: y > 0 Ordonnée à l’origine: 1 Asymptote: horizontale à y = 0Domaine: RéelsImage: y > 0Ordonnée à l’origine: 1Asymptote: horizontale à y = 0

À ton tour! P.318 #1-2 (5 mins )

Comment bâtir la réciproque de y = 4x ? * Inverse le x et le y Réflexion p/r droite y = x

Caractéristiques de x=by ? * Quand b > 1 Quand 0 > b > 1 Domaine: Image: Abscisse à l’origine: Asymptote: Domaine:Image: Abscisse à l’origine: Asymptote:

Caractéristiques de x=by ? * Quand b > 1 Quand 0 < b < 1 Domaine: Réels positifs Image: Réels Abscisse à l’origine: 1 Asymptote: x = 0 Domaine: Réels positifsImage: RéelsAbscisse à l’origine: 1Asymptote: x = 0

Votre tâche P.318 #5, 7, 8,

6.2: Les logarithmes

Qu’est-ce qu’un logarithme?  

Réécris les expressions suivantes sous forme logarithmique * Forme exponentielle Forme logarithmique Forme exponentielle Forme logarithmique

Réécris les expressions suivantes sous forme logarithmique * Forme exponentielle Forme logarithmique Forme exponentielle Forme logarithmique La fonction logarithme: Restriction: b > 0, b ≠ 1  

Exemple #1(p.324) Écris chaque équation exponentielle ci-dessous sous forme logarithmique. Forme exponentielle Forme logarithmique Forme exponentielle Forme logarithmique

Exercices P.328 #1

Exemple #2 (p.324) Évalue les logarithmes suivants:   Logarithme en base 10 = logarithme décimal = pas besoin d’écrire la base. Ex.  

Exercices P.328 #2-3 (Après exercices) Critères dans ta réponse

Votre travail P.328 #4, 5, 10 Dans chacun des problèmes ci-dessus, fais seulement la moitié des exercices (ex. 4 au lieu de 8).

6.3: Les transformations de fonctions logarithmiques

À quoi ressemblera le graphique suivant? ? ?

À quoi ressemblera le graphique suivant? ? ?

Effet de chaque variable dans *   Variable Transformation D Translation de d unités vers le haut si d > 0, bas si d < 0 C Translation de d unités vers la droite si c > 0, gauche si c < 0 A K

À quoi ressemblera le graphique suivant? Comment le dessiner? ? ?

À quoi ressemblera le graphique suivant? ? ?

Effet de chaque variable dans *   Variable Transformation D C A Agrandissement vertical de rapport si > 1 Rétrécissement vertical de rapport a si < 1 Réflexion p/r axe des x si a < 0 K Variable Transformation D C A K

À quoi ressemblera le graphique suivant? Comment le dessiner? ? ?

À quoi ressemblera le graphique suivant? Comment le dessiner? ? ?

Effet de chaque variable dans *   Variable Transformation D C A K Rétrécissement horizontal de rapport si > 1 Agrandissement horizontal de rapport si < 1 Réflexion p/r axe des y si k < 0 Variable Transformation D C A K

Votre travail

Résultat d’apprentissage À la fin de la période, vous devriez pouvoir tracer le graphique de:  

Fonction logarithmique avec facteurs *  

Quelle est l’équation manquante?

Quelle est l’équation manquante?

Quelle est l’équation manquante?

Quelle est l’équation manquante?

Effet de chaque variable dans *   Variable Transformation D Translation de d unités vers le haut si d > 0, bas si d < 0 C Translation de c unités vers la droite si c > 0, gauche si c < 0 A K

Votre travail P.338 #1-2-3 (10 mins )

Quelle est l’équation manquante?

Quelle est l’équation manquante?

Quelle est l’équation manquante?

Quelle est l’équation manquante?

Effet de chaque variable dans *   Variable Transformation D C A Agrandissement vertical de rapport Réflexion p/r axe des x si a < 0 K Variable Transformation D C A K

Quelle est l’équation manquante?

Quelle est l’équation manquante?

Quelle est l’équation manquante?

Effet de chaque variable dans *   Variable Transformation D C A K Agrandissement horizontal de rapport Réflexion p/r axe des y si k < 0 Variable Transformation D C A K

Votre travail P.338 #4 (5 mins )

Billet de sortie Tracer le graphique de: Étapes: S’assurer que sous la forme y=a log(k(x-c))+d En utilisant les points (1,0) et (10,1): Faire agrandissements et rétrécissements Faire réflexions Faire translations  

6.4: La loi du logarithme d’une puissance

Que remarquez-vous? Log 2 = 0,301 Log 4 = 0,602 Log 8 = 0,903

La loi du logarithme d’une puissance * Restrictions: B > 0 B ≠ 1 X > 0   Faire démonstration.

Exemple #1: Appliquer la loi du logarithme d’une puissance Évalue les logarithmes suivants: Ensemble: Vous:  

Votre travail P.347 #1-2

Exemple #2: Étudier l’intérêt composé Suppose que tu places 100$ dans un compte bancaire qui rapporte des intérêts de 5% composés annuellement. Le montant M (en dollars) dans ce compte après un temps donné t (en années) est exprimé par l’équation M(t)=100(1,05) t . Détermine le temps nécessaire pour doubler la valeur du montant de base. Ce procédé est très souvent utilisé: Loi du changement de base.

Votre travail P.347 #3-4 (10 mins )

Formule du changement de base * Restrictions: M > 0 B > 0 B ≠ 1  

Exemple #3: Évaluer des logarithmes de bases diverses  

Ton travail P.347 #5-6 (10 mins )

Ton travail P.347 #10, 12, 13

6.5: Établir des liens: les échelles logarithmiques dans les sciences physiques Échelle du pH Échelle des décibels Échelle de Richter

Exemple #1: Étudier l’échelle du pH Donc, le pH est l’exposant dans la concentration des ions [H+]

Le jus de tomate a une concentration en ions hydrogène d’environ 0,000 1 mol/L. Quel est son pH? Le sang a une concentration en ions hydrogène d’environ 4 x 10 -7 mol/L. Le sang est-il acide ou alcalin?   Exemple #1: Étudier l’échelle du pH

Exemple #1 (suite) Le pH du jus d’orange est d’environ 3. Quelle est la concentration en ions hydrogène du jus d’orange? Lequel a une plus grande concentration en ions hydrogène, le jus d’orange ou le jus de tomate? Quel est l’écart?

Votre travail P.353 #1 à 4 (10 mins )

Exemple #2: Étudier l’échelle des décibels La différence entre les niveaux sonores (en décibels) peut se calculer à l’aide de l’équation suivante: Où: est la différence entre les niveaux sonores (en décibels) est le rapport des intensités sonores (en )  

Exemple #2 (suite) Combien de fois plus intense est le son d’une conversation normale par rapport au chuchotement? Le niveau sonore de la circulation automobile normale est d’environ 85 dB. Le niveau sonore lorsqu’on circule en motoneige est 32 fois supérieur à celui de la circulation automobile. Quel est le niveau sonore (en décibels) lorsqu’on circule en motoneige?

Votre travail P.354 #6-7-8

Exemple #3: Étudier les séismes et l’échelle de Richter

Exemple #3: Étudier les séismes et l’échelle de Richter On mesure la magnitude M des séismes à l’aide de l’échelle de Richter, définie par l’équation , où: I est l’intensité du séisme (amplitude sur séismographe) I 0 est l’intensité d’une secousse sismique normale (amplitude sur séismographe)  

Exemple #3 (suite) Combien de fois l’intensité d’un séisme de magnitude 2,4 sur l’échelle de Richter dépasse-t-elle l’intensité d’une secousse sismique normale? Quelle est la magnitude d’un séisme 1000 fois plus fort qu’une secousse sismique normale?

Votre travail P.354 #9 à 11