DISTRIBUSI - PowerPoint Presentation

Slide1

DISTRIBUSI

PROBABILITAS

diskritSlide2

Distribusi Peluang Diskrit

Distribusi peluang diskrit adalah suatu ruang

sampel yang mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah (Walpole,1993).

Distribusi probabilitas variabel acak diskrit yang dikenal diantaranya

:

Distribusi

Binomial

Distribusi Multinomial

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi PoissonSlide3

Distribusi Peluang Binomial

Suatu percobaan dimana pada setiap

hasilnya hanya ada dua kemungkinan yaitu sukses dan gagal dalam n kali pengulangan yang bebas (Walpole,1993

)

.

Ciri – ciri distribusi peluang binomial adalah sebagai berikut :Percobaan terdiri dari atas n pengulanganDalam setiap pengulangan, hasilnya berupa sukses dan gagalPeluang sukses dilambangkan dengan p, sedangkan gagal 1-p atau qPengulangan-pengulangan tersebut bersifat saling bebas satu sama lain.

Distribusi peluang binomial dilambangkan dengan :

Untuk x = 0, 1, 2, 3, ... n

Keterangan

n = banyaknya data/percobaan x = banyak sukses dalam peubah acak Xp = peluang berhasil pada setiap percobaanq = peluang gagal (1 – p) pada setiap percobaan

Rata-rata distribusi peluang Binomial :

 = n.p

Ragam/varian distribusi peluang Binomial :



2

=

n.p.qSlide4

Contoh Distribusi Peluang Binomial

1. Bila

sekeping uang (koin) yang memiliki muka angka (A) dan muka bergambar (G) ditoss sebanyak 10 kali. Tentukanlah probabilitas peristiwa muncul muka bergambar angka (A) :

6 kali

Paling banyak

2 kaliPaling sedikit 2 kaliHitung rata-rata jumlah muka A yang muncul dan standar deviasinyaJawab : Apa yg diketahui ?n = 10 p = 0,5 q = 0,5Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan jumlah muka A yang muncul

a) Peluang muncul angka (A) 6 kali

=

210 x

0,015625 x0,0625

=

0,2051Slide5

b) Peluang muncul muka angka paling banyak 2 kali

=

0,001

P(X



2) =P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X = 0) =

=

0,0098

P(X = 1) =

=

0,0439P(X = 2

) =

P(X



2)

=

0,001 + 0,0098 + 0,0439 =

0,0547

c) Peluang muncul muka bergambar angka paling sedikit 2 kali

=

1 – (0,001 + 0,0098) =

P(X



2) =

1 – {P(X

=

0) + P(X = 1) }

1 – 0,0108 =

Ragam = n.p.q =

0,9892

d) Rata-rata jumlah muka A yang muncul :

 = n.p =

10 (0,5) =

5

10(0,5)(0,5) =

2,5

Standar deviasi =

1,58Slide6

Contoh Distribusi Peluang Binomial

2. Delapan

dadu yang homogin ditoss sekaligus, berapakah probabilitas muncul muka bertitik 5 sebanyak 3 buah dadu

Jawab :

Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan jumlah dadu dengan muka yang muncul bertitik 5

n = 8 p = 1/6 q = 5/6= 56 x

0,00463 x

0,40188

=

0,10420Probabilitas muncul muka titik 5 sebanyak 3 dadu

 x = 3Slide7

Latihan

Diketahui dari seluruh barang yang diproduksi terdapat 10% barang yang rusak (cacat). Dari barang yang diproduksi tersebut diambil sampel acak berukuran 25 unit barang, tentukan probabilitasnya bahwa dalam sampel tersebut akan terdapat barang rusak :

Sebanyak 5 unitPaling banyak 5 unit

Paling sedikit 7 unit

Antara 1 dan 7 unit

Hitunglah rata-rata jumlah barang rusak dan standar deviasinyaSlide8

Distribusi Peluang Multinomial

J

ika percobaan binomial berkembang dengan memberikan lebih dari dua hasil yang mungkin (bukan hanya kategori sukses dan gagal), maka percobaan itu dinamakan

Multinomial.

M

isalkan sebuah percobaan menghasilkan K buah hasil yang mungkin yaitu E1, E2, ..., Ek dengan peluang P1, P2

, ..., Pk. Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali, maka peluang akan terdapat x1 kejadian E1, x

2 kejadian E2, ... , xk kejadian E

k diantara n ditentukan oleh distribusi multinomial :

P(x1, x2, ..., xk) =Slide9

Contoh Distribusi Peluang Multinomial

1. Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 4 bola hijau, dan 5 bola kuning. Identitas lainnya homogen (sama). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak itu, dilihat warnanya dan dikembalikan lagi ke dalam kotak. Tentukan peluang dari 6 kali pengambilan terdapat 1 bola merah, 2 bola hijau dan 3 bola kuning.

Jawab :

P(merah) =

P(hijau) =

P(kuning) =3/124/125/12P(M,H,K) =

P(1, 2, 3) =

Merah muncul 1 kali



x1 = 1Hijau muncul 2 kali  x2 = 2

Kuning muncul 3 kali 

x3 = 3

0,1206Slide10

Contoh Distribusi Peluang Multinomial

2

. Bila dua buah dadu dilemparkan 6 kali, berapakah peluang mendapat jumlah mata dadu 7 atau 11 muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama muncul 1 kali dan pasangan lainnya muncul 3 kali.

Jawab :

E1 : kejadian muncul jumlah mata dadu 7 atau 11

E2 : kejadian muncul pasangan bilangan yg samaE3 : kejadian muncul pasangan lainnyaP(E1) = P(E2)

= P(E3) =

P(X) =

P(2, 1, 3) =

Distribusi Multinomial dengan X

1 = 2, X2 = 1, X

3 = 38/36 =

6/36 =22/36 =

2/9

1/6

11/18

0,1127





Slide11

Distribusi Peluang Hipergeometrik

Bila dalam N populasi benda, k

buah benda diberi label berhasil dan N-k benda lainnya diberi label gagal, maka distribusi peluang bagi peubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n (Walpole,1993).

Distribusi peluang

hipergeometrik

dilambangkan dengan :Untuk x = 0, 1, 2, 3, ... nN = ukuran populasin = ukuran contoh acakk

= banyaknya penyekatan / kelasx = banyaknya keberhasilan

Rata-rata distribusi peluang hipergeometrik :

Ragam distribusi peluang hipergemetrik :Slide12

Contoh Distribusi Peluang Hipergeometrik

Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluang :

Tidak ada yang lahir pada tanggal 1 JanuariPaling banyak 1 orang yang lahir pada tanggal 1 Januari

Jawab :

Diketahui :

N = 50, n = 5 dan k = 3a. Miasl X : banyaknya orang yang lahir tanggal 1 Januari dari pengambilanP(0) =

0,724

Peluang bahwa kelima orang yang diambil tidak lahir pada tanggal 1 JanuariSlide13

Contoh Distribusi Peluang Hipergeometrik

Diketahui :

N = 50, n = 5 dan k = 3

b

. Akan dicari peluang paling banyak 1 orang lahir tanggal 1 Januari

P(X  1) =P(1) =

0,253

Peluang paling banyak 1 orang dari 5 orang yang diambil lahir pada tanggal 1 Januari adalah

Dari jawaban sebelumnya telah diperoleh P(X = 0) =

0,724P(X = 0) + P(X = 1)0,724 + 0,253 = 0,977Slide14

Latihan Distribusi Peluang Hipergeometrik

1.

Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan yang sekarang dalam pengiriman 50 barang yang sama. Cara ini dengan mengambil sampel sebesar 5 dan lolos pemeriksaan bila berisi tidak lebih dari 2 yang cacat. Barapa proporsi pengiriman yang mengandung 20 % cacat akan lolos pemeriksaan

N =

n =

k =N – k =505 20% x 50 = 1040

Diambil 5 sampel dan dikatakan lolos pemeriksaan jika

cacat tidak lebih dari 2.

Dengan demikian x =

0, 1, 2Slide15

P(X=0) =

P(X=1) =

P(X=2) =Slide16

Distribusi Peluang Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau distribusi daerah tertentu (Walpole,1993).

Distribusi peluang poisson memiliki ciri – ciri sebagai berikut :

Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak langsung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut.

Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat diabaikan. Bilangan X yang menyatakan banyaknya daerah hasil percobaan dalam suatu distribusi poisson disebut peubah acak poisson.Slide17

Karena nilai – nilai peluangnya hanya bergantung pada µ maka dirumuskan

:

untuk x = 1, 2, 3, ...

Keterangan :

x = banyak keberhasilan dalam peubah acak X

µ = rata-rata banyak sukses yang terjadi per satuan waktue = 2,71828...Rata – rata dan ragam distribusi poisson p(x;) keduanya sama dengan Distribusi Peluang PoissonSlide18

Contoh Distribusi Peluang Poisson

1. Seorang

pengusaha fotocopy menjamin bahwa dalam setiap 1000 lembar hasil fotocopy nya akan ada rata-rata 16 lembar yang rusak. Kalau saudara memintanya untuk memfotocopy 30 lembar, maka berapakah probabilitasnya saudara mendapatkan :Tidak ada yang rusak

Lebih dari

3

lembar yang rusakJawab :Misalkan X adalah variabel acak dengan jumlah lembar fotocopy yang rusakSehingga  = 0,48 untuk n = 30

a)

P(X = 0) =

e

–0,48 =0,61878339Rata-rata lembar rusak setiap 30 lembar fc adalah  = 16*30/1000 = 0,48Slide19

Contoh Distribusi Peluang Poisson

b) P(X > 3) =

P(X = 1) =

0,48 x e

–0,48

=0,297016031 – { P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) }

P(X = 0) =

0,61878339

P(X = 2) =

0,2304 x e–16 =0,07128385

P(X = 3) =

0,018432 x e

–16 =

0,01140542

Sehingga

P(X > 3) =

1 – 0,99848869 =

0,00151131

Berapa standar deviasinya ???Slide20

Latihan Distribusi Peluang Poisson

2. Peluang seorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk :

Tidak adaAda 3 orang

Tentukan ada berapa orang yangdiharapkan akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik.

1

. Pada tahun 2012, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Dengan menggunakan pendekatan Possion, tentukanlah peluang:a. Didapat tidak ada yang albino.b. Terdapat ada albino.Slide21

Kunci no 1

b. Peluang terdapat albino dari sampel adalah

= 1 – (Peluang tidak ada Albino)= 1 – 0,00055= 0,99945.