In this case ph ysical obser ations of the system in the speci64257c conte xt are used to lear about the unkno wn par ameters The process of 64257tting the model to the obser ed data adjusting the par ameters is kno wn as calibr ation Calibr ation i ID: 6990
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BayesianCalibrationofComputerModelsMarcC.KennedyandAnthonyO'Hagan \n \r Summary.Weconsiderpredictionanduncertaintyanalysisforsystemswhichareapproxi-matedusingcomplexmathematicalmodels.Suchmodels,implementedascomputercodes,areoftengenericinthesensethatbysuitablechoiceofsomeofthemodel'sinputparametersthecodecanbeusedtopredictbehaviourofthesysteminavarietyofspecicapplications.However,inanyspecicapplicationthevaluesofnecessaryparametersmaybeunknown.Inthiscase,physicalobservationsofthesysteminthespeciccontextareusedtolearnabouttheunknownparameters.Theprocessofttingthemodeltotheobserveddatabyadjustingtheparametersisknownascalibration.Calibrationistypicallyeffectedbyadhoctting,andaftercalibrationthemodelisused,withthettedinputvalues,topredictfuturebehaviourofthesystem.WepresentaBayesiancalibrationtechniquewhichimprovesonthistraditionalapproachintworespects.First,thepredictionsallowforallsourcesofuncertainty,includingtheremaininguncertaintyoverthettedparameters.Second,theyattempttocorrectforanyinadequacyofthemodelwhichisrevealedbydiscrepancybetweentheobserveddataandthemodelpredictionsfromeventhebest-ttingparametervalues.ThemethodisillustratedusingdatafromanuclearradiationreleaseatTomsk,andfromamorecomplexsimulatednuclearaccidentexercise.&#x;000;!#" $&%('&) *,+ -/.1032546870/984\r:(((\rD(2OH=HPQ0? \r((\491Z^03;30G2_ZQR4K`=a 3;Q.1D(79O04;391ZS03;30G2_ZQR4K`b1.OVERVIEW1.1.Computermodelsandcalibration\dc egfh W i hi \n Tfa Kkjlc\r\nj c&\r i c (jl T L m \ri \rnao \ri \n Km Q\rhc[p1f M p? \rqnU\n \rL qifh [\rBcac R \rrOch M \n \rqjl Wc \rlRo i c e Ljlo e\njl _\rm seti jlof [i \n \nb:3u\r\n5r_\rGjlc\r\nj c&\r i c ajl \n U Cevg li jlo w`rch \r\r\r&#x m ;&#xKfh ;&#x ;v;&#x[i;&#xjlo;&#x 8;&#xi;&#x G;&#x 1;&#x c;&#x v;�ch [j c,Tna? woa\nh K8 j h igjlof\r\n \rjl? \rmxgfhe \n Wy dcQ Kvg e1 \rfh5bO;3 g \r\r\n em \r \nr&#x m ;&#xKfh ;&#x ;v;&#x[i;&#xjlo;&#x 8;&#xi;&#x G;&#x 1;&#x c;&#x v;�&#x m ;&#xKfh ;&#x ;v;&#x[i;&#xjlo;&#x 8;&#xi;&#x G;&#x 1;&#x c;&#x v;� \rfhvl\r[ijlof\r GjlR zp? znUjfai{|i{h\ncoU 3\rhcJj c}Rehvq e \ni3na K\n \r&c& egh 8 o Ri \n bci{} \nr&~E\n i{zrg@Je i{\n e ach [~RJ\ng_zvgeg1c\n\n\n\nigh K \n 1c \r\r\n\r\r\r\rT cjlTf\rofmb&#xohf;&#x ?; e;&#xp8c,;&#x d;&#xo ;&#x ;hi;&#xm 0;.Cjlof jl 3c \rTvg \n c e m Kvh\n \r nUcoo i\ncn T\rqcqp? T {chvT/ohc K i f c Wjl;&#x ;&#x U;&#x 0;igg wR \nb&p1 \n \nrgek { (\r[fh K\n(\n\rWjl;&#x ;&#x U;&#x 0;na8mim \r c Qh { \rq{&)\r"/\r?jl \n fh KvT \rjl8nh \r m c cb9V\r\r\npCQ_\r R fhiTcl Kjlo Twcjlo b/98p1#jlg \rQwcj#oh em ?c \r\r\n\n\r4][g \n 5 Q \ni 1#cG _ K1 vjlGb&#x m;&#x i ;&#xnU;&#x ;J ;&#x ;&#x c; `;&#xRi;&#x;଀vhb K gr,y \rmxgfh hi Wch \r\n emc \r( {c&\rm z cn {zy /c p fvhrc\r(\r\n\n\n\r\r\r\r&c egfh 8ijlohc K jl _ \nU 3oac&\r _m Cna ch l{ (\n\ng fhc a ejlhc& egLygbvabVnR i{\nj# i c &#xoh; j;&#x cgi;&#x};&#xR;&#x;&#x i;&#xjlR;&#x ;&#x ;&#x fh;&#x `; 98;&#x ;&#x j#;&#x ;&#x ;&#xO ;j;&#xl&;&#x j;&#xlg;&#x;
&#x ;&#x f;&#xvG;&#xh g;v;� \rmci\rh 1 3wi egabCfhi{Jclj# \n zc &p 1\ri h \r\nx_f\nhim 1dcRqvgeg | g \rT \r\nvjlG 2MarcC.KennedyandAnthonyO'Haganna\n\n\n\n(\r\r\r\r\r\r\r KoU\ni yl {c& \n /p?e\rqp?hi{qeCjl&g\n /nUp1 \n eU\n \r\ngCna igjlohc \r\rjl _{ r_ Kfhi{kc / 3 {c& ?\r {ch Ky 1y j K\rgj ci{q ln eR `rg 8 ejlhc& egy j Q e\n \nbdRgjl\r\r&#x KoU;&#xi ;
i;�&#x f;&#xhv00;p?e Una\n\r\r\r\n\r\r\r\n\n\rh K;&#x d;&#x [ ;&#xoam;&#xie;&#xy[;&#x ;&#x j0;c Cehof C \r\n\n\r\n\n\r vg;g;&#x L;&#x f;&#xvar;&#xUc;&#xh B ;&#xq;&#xwoU;&#x ;jl;&#xg;&#x{ Gc;&#x 0; c\rm p? e rH(igf { KgrhGnU[}R&p?|yg \r\r\n\r\n\r\n\rn{cEgnh \r ,c\rhc O hc& chbl4W QToa_ \r \renh e#\rJgn ceE\rh c\r\n G j \r \n \nbl4]h K\r\ncg `r` c&{cc \rWgnh \r ,c\rh 3(i \r cX'H+?/ #ohc j ci }Reh\r iTjl r`bvhbQighi\n_\r {c&\r vg;g;&#x L;&#x f;&#xvar;&#xUc;&#xh B ;&#xq;&#xwoU;&#x ;jl;&#xg;&#x{ Gc;&#x 0; vg;g;&#x L;&#x f;&#xvar;&#xUc;&#xh B ;&#xq;&#xwoU;&#x ;jl;&#xg;&#x{ Gc;&#x 0;eln R [g f \rc(i \r ce[\rjl?oage_{ bd.C \rfa of\nrgi\nc enh c\r# O ci\r_eHcg ,fh K\rv\rTfh}R&p?k {c& Qohc {cjl { 1f_\r `\rTgf\rohf 8V TjlR h (H\rTgnh K\n \rg\n k c&{cb@J kvg \n c e rdcMigjlof\r\n [jl \n ?p?e 8hc,|cBRfj[na\n #l{'&¡a" ¢g¤£+h"{ 1Wof{ #\rhc vg;g;&#x L;&#x f;&#xvar;&#xUc;&#xh B ;&#xq;&#xwoU;&#x ;jl;&#xg;&#x{ Gc;&#x 0; vg;g;&#x L;&#x f;&#xvar;&#xUc;&#xh B ;&#xq;&#xwoU;&#x ;jl;&#xg;&#x{ Gc;&#x 0; vg;g;&#x L;&#x f;&#xvar;&#xUc;&#xh B ;&#xq;&#xwoU;&#x ;jl;&#xg;&#x{ Gc;&#x 0; vg;g;&#x L;&#x f;&#xvar;&#xUc;&#xh B ;&#xq;&#xwoU;&#x ;jl;&#xg;&#x{ Gc;&#x 0; ac ohc K i f c 3 \r fhc& egJeJp?hi{| jl V \rqnUfa Km `b8~ 5r`cg ? 3u J i cg Kgr\r\n\r\n\r\n\r\r\r\n\rl \nc |cnUf8\rh j|b(98 ? ?i c n c\r5b4]i f \r _?o {ci\r iri\nc en {c& egR,c \r cnh eqi h \r K 1O \r\nc {i{vWyg c[ \r?V&c f\n 8z &#x&c;&#x f;&#x C;&#xV;&#x;&#xG ;j#;&#xg G;&#x ;&#xQi;&#x_;&#x ;&#xwRK;&#xN] K;&#xoUi;&#x ;&#xUi;&#xo;&#x{ 1c;&#x G;;&#x}R;&#x&p?;rR;&#xgnh;&#x K ;&#x&c;&#x;&#xh ;Ì ;&#x f;&#xh ;&#x&c;&#x f;&#x C;&#xV;&#x;&#xG ;j#;&#xg G;&#x ;&#xQi;&#x_;&#x ;&#xwRK;&#xN] K;&#xoUi;&#x ;&#xUi;&#xo;&#x{ 1c;&#x G;;&#x}R;&#x&p?;rR;&#xgnh;&#x K ;&#x&c;&#x;&#xh ;Ì ;&#x f;&#xh ;f}R&p?¥of{ [ \rfhi{¥ hc&[\rknh \r m s c&{cJlc i e_ K\n esc oa_ \r \rn egre¦ \rjl \r a Kgr\r\rqi \rm KoUa ehvkgf\rof TC jlR b98\n \r &c f\n Tc \r i h \r \n Mc Tm ej c& \n QC igg wRKN] \roamieaiWof{ r5ch J ljlR G Efh Km J ko \n i(\r\n\r i _\r w_?nR \r\r\rvl\rm KQof{ 8\rl ?\n K\rj c& \n \nb.C emc egr&\r 8&#x;&#x#;&#xo ;&#xRi ;&#x ;;o fvNezo \n i eg[ \rmc&{ O\ri _\r w_\rN \roU\nieai8of{ dc eH\r\np1 8}_h&p?5b&#x;&#x#;&#xo ;&#xRi ;&#x ;;98 \nc eeM W\rhc[ ¥c qg eM\n K\rj c& \n `rdch ¥ \n \r fac (fhhi\n K{cgscnUf\rh\n \rof{ Khf nUT \nigv \r\n qJ Kfhnh Kmx_f _?o \n i egh 1y \rgj\rhTj# \n ¤b~E8o \n \r _V[\r OohcoU /c\n\r\r\r\r\n\r\r\n\n \r\no \n \r _C Tf}R&p?|of{ c ?cloac {cjl 8mi\rg 3§Vb( 3 \rehv[ Tna K\n \rg\n c&{c[p1T \rCoa_ eg z \rnf egWa§Vr,p? i{WWohc \r\r ifh c zx_fhc_\rehm 5 \rm K fhc fai \r ce_H\ncnagf,;&#xg ;&#xWc;&#xooh;&#x _c;&#xi{;&#xQG;&#xh;ic;&#x e;&#xnh ;;&#x;&#xW; i;&#xgj#o;&#xhf;&#x Vj;&#xl ;&#x ;&#x bV;&#x~M0;§Vb98h 1fhi \r ce_# Cyf eqcgi i f_\rm #y 1p? kfh \rev\rQigjlof\r\n Cjl \n H \rfnh \r\nx_f\n_\r [yg o \n i eg5rdnR¥n{cvMcEo \n i eg K\r enhf\r5b98o \rhi eo \n #\n\rey hi Gc G \r1f8k0e i{h \rch IGfh \rjl [K\n_¨©rgnfC Goh \rgn e\njªzigjlof\r\n ?i i c en {c&\rkhc ?c#Rfj[na\n ijlo i c& ehv[ymc& f \rm bڌ,;&#xm;&#x K ;¥;&#xo ;&#x ;&#xi;&#x;�:Gf [coo gci{M \rmc& W\rigj#ohf\r\n [i kc \rj#oh e¥csn ci{}Mna,w`bJ~Ekjlc}qhBfh \rqey jlc\r cnUfd\r3jlc\r\nj c&\r i c hjl aejlo jl\ng \n nR[\rGi r_wi o(h \rc (c ڌ,;&#xm;&#x K ;¥;&#xo ;&#x ;&#xi;&#x;�j c,Bna \r\no \rm K\n_\r\n L\rh \rgfvM\rh o \r eyg \rj c\rscnUfT q c&\ra Kosna pC\n sof{ ch qf of \nb(.C emc egrjl C\rhcCgoa\nqfoq Wn ci{}#na,w`Rch qwo eCe 1 \rfhi\rf 3jlv_o &8\r[na\n\r\r\n\r\r\r coho egbd98 8 c#oU _\r c eejloU \r c_? o iGy 8yf f \rT \n \r\nc i{zb1.2.OutlineofthispaperR\ni\rLloh \r&R \n ?cq ce \n Lchc e \r 8d Kfh\n cg \r \ri c&\rm p? Ligj#ohf\r\n Gi m b84]Johc K iN&#xig;&#xj#oh;&#x e ;&#xw000;f c mrV c \r \r g {c d\r\n [ \rf {im Tfhhi\n K{cgM¥\rkfh \r3i jlof #i \n nam K m fhi \r c_BcnUfTig_\rwR\rN \roamieai[eohf \nrVch Li\nc en {c& egByg G lof oa_ K#1o \n i egE &#xV;[R;j0;fh K8g\r\n\r\r\n\r\r\r\n\n\r[na\nvh 8p? Jc#i\nc yf 5 K\rfa qOfhi \r c_\r\n 8Jijlof\r ?jl \n \nre fh c\rv#\rToUg \ren Kgf {i\n (p? \rjlG ce \n wcjlo \n \nbV48 a (p?e\rcW R p«zoh \r\n_fa dp1 }[gi c en {c&\rch k c&\rm oh \rgn e\nj b&#xgf;&#xohf;&#x ;½R;&#xi;&#x;�&#xgf;&#xohf;&#x ;½R;&#xi;&#x;�:Gf 68c,m K cMjl\rhR s Tnfhe etc|vg \n c d68c,\n \r cEcoo gcgi{L Bey hi qcnUfWfN}R&p? yfhi\rh \nbd0¬ \r\nRe\np5 Q \r\n e\n,c_(\rh qca qofnh e Kh\n kpCg \r}# 8vgeg qJR\ni\rkhb:Gf 1nhc \ri3jlR 5ca cac R \r d Coh \rm K\ng \n e|R\ni\r®arch o cgi i\nc Hcoo i c& egq \r \rf\n 1c BayesianCalibrationofComputerModels3c \rm \r \r\n \ni eg|©bdR\ni\rk¯[o \n \r _ 8c#i cg K\n\n KgjlQi hi efa Kh 8ch k e \ni\rh 1yg 8yf K 3pCg \r}Hb2.STATISTICALANALYSISOFCOMPUTERCODEOUTPUTS2.1.Uncertaintiesincomputermodels98#p? m Koh \rmc Lcoo i\nc& egECigj#ohf\r\n Tj# \n Q Qci\nijlohc\n BnRLckp? \n \ro \nc Eighi\n \rcnUf x_fhc_ yRvL |fhi \r c_\r\n #o &c evEeX\rh #fa KgbX98ky e&p?vM #gkp8c,s&#x ;h ;&#xqnh;g K;&#xm q;&#xg;&#x c;&#x ` ;&#x chb;&#x/;&#xi ;g;&#x|¨W;&#xH;&#x {;&#x 000;i c KeyRehv T&c egfh 8 Kgf i \n 8Vfhi \r ce_b°t±G²³&²´tµ_¶\nµ_³G·O¸O¹µ_³,¶\n²º¤¸H¶ »b~M(hc,g(c \nc G \ri fh Km \r\r |,c efh\n #G \rjl Jigj#ohf\r\n li kof \nbt~EJi\nct }t3\r_ Kehof cg &#x;&#x {c;&#x ;&#xr;&#xV;&#xs ;&#xoUi;&#xyM;&#xyc; ;&#x 0;fh}_h&p?¥ohc {cjl { T? jl \n ¤bEP\n\r\n\r\n\n\r\ncoo i\nc&\rBi _\r wR\nrHnf\r\n\r\rcligjlj#gk&c efT&g ?c# cv\r\r°t¼^½z¾VµR¿º¸O²¾Oµ_À`·O²¹»&#x/;&#xig;&#x_;&#xwR;&#x{ 8;&#x 8;&#x g;&#x ;Jc;&#x ;&#xzi ;&#x_;&#x w_;&#x{ ;ëbd;Wjl U doU \ry\nimb/Dd\n ` dohc {cjl dfhhi\n K{cggr \rQ\rhc(p1}R&p¦ ? \rf3,c efh\n d5c \rGehof ( \rmx_fe \n [ Wj c}cQoac \r\r if c doh \rm iN eg#H\roh \rim \r nU vTjl \n `rg\r3o \rm i\rm #,c efh?p?e hd\nx_fhc \r\r f?&c f? 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\r\rhevTch mc K\rvQiR { hc& \n Kfai{ hc&(î¥ó¤æù\ræ_V \r\noN \rm K\n_ 1\rhW Kgf i Qoage_Gch |c[oU_Gî¥óÖ÷øùK÷ú8 {chi T÷ø&#x eg;&#xvN];&#x ;&#xoUg;&#x e;&#x;&#x y;&#xg 1;&#x&c;&#x c;&#xn ;&#xo;&#x ?î;‹/9;;&#xQ&c;&#x ;n;&#x e;&#xGe;&#xhof;&#x ;;&#xq ;&#x ;&#x?i c;&#x G;&#xi ;&#xjlo;&#x ;&#x ;&#xp1; &p?_p?h y \rgjà \rf {ich K chi÷úy jã\r3o efhj#\n\r hn ¤ (c \r? v_c j /`na K\n \rg\n l oUg \re\rh \nb98?ohc&\r\r\n \r#` oUg \re\rl K\n #e ÕOevgf \n\r&#xpC ; ;&#x ;&#xh;&#xm [o;&#xh ef;&#xjl;&#x h;oU;&#xrg;h;&#x #p1;p1;h;&#x 0;woU\ni? 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