LOGIKA & PEMBUKTIAN 2 - PowerPoint Presentation

Slide1

LOGIKA &

PEMBUKTIAN 2

Rani Rotul MuhimaSlide2

2

“

x > 7”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada x, tapi nilainya belum ditentukan.

Apakah ini sebuah pernyataan?

YA

Apakah ini sebuah proposisi?

TIDAK

ReviewSlide3

3

“

Tolong untuk tidak merokok di ruang kelas

”TIDAKTIDAKHanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.Ini adalah sebuah

permintaan.Apakah ini sebuah pernyataan?Apakah ini

sebuah

proposisi?Slide4

4

Contoh

1. Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi: (a) 12 adalah bilangan genap (b) Jakarta ibu kota Indonesia. (c) 8  akar kuadrat dari 8 + 8 (d)  Hari

ini adalah hari Rabu Contoh

2.

Semua

pernyataan

di

bawah

ini

bukan

proposisi

(a) Jam

berapa

kereta

api

Argo

Bromo

tiba

di

Gambir

?

(b)

Isilah

gelas

tersebut

dengan

air!

(c)

x

+ 3 = 8 Slide5

Tugas 1

Misal

: p: Nana orang kaya

q: Nana bersuka cita Tulis simbol kalimat berikut; a. Nana orang miskin tetapi bersuka cita b. Nana orang kaya atau ia sedih c. Nana seorang yg miskin atau ia kaya ttp sedih2. Buatlah tabel kebenaran dari: a. ¬(¬pq) b. (pq)¬(p v q)Slide6

Penyelesaian

1. p

: Nana orang kaya

q: Nana bersuka cita a. Nana orang miskin tetapi bersuka cita ¬p  q b. Nana orang kaya atau ia sedih p v ¬q c. Nana seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih ¬p v ( p  ¬q )Slide7

Penyelesaian

p

q

¬p¬pq¬(¬pq)T/BT/BF/SF/ST/BT/BF/SF/ST/BF/S F/ST/BT/BT/BF/SF/SF/ST/BF/ST/B

2. a.b.pq(pq)(p v q)

¬(p v q)(pq)¬(p v q)T/B

T/BT/BT/B

F/SF/ST/B

F/S

F/S

T/B

F/S

F/S

F/S

T/B

T/B

T/B

F/S

F/S

F/S

F/S

T/B

F/S

T/B

T/BSlide8

Dua

kalimat disebut ekuivalen

“jika dan hanya jika keduanya memiliki kebenaran yg sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing2 kalimat penyusunnya” Simbol: pq (pq) Jika pq maka qp Contoh: ¬(pq)  ¬pv¬q Dapat dilihat dalam tabel kebenaran

Kalimat EkuivalenSlide9

Hukum2

Ekuivalensi

Logika:

Jenis HukumAturan1. Komutatifp  q q  pp v q q v p2. Asosiatif(p  q)  r p (q  r)(p v q) v r pv (q v r)3. Distributifp ( q v r) (p q) v (p  r)p v(q r) (pv q)  (p v r)4. Identitasp  T  pp v F  p5. Ikatanp v T  Tp  F  F6. Negasip v ¬p T

p  ¬p F7. Negasi ganda¬(¬p)p8. Idempotenp  p pp v p p

9. De Morgan¬(pq)¬p v ¬q

¬(pvq)¬p  ¬q10. Absorbsi

p v (p q)pp  (p

vq

)p

11.

Negasi

T

dan

F

¬T

 F

¬F

 TSlide10

Contoh

Buktikan

tanpa menggunakan

tabel kebenaran:¬(p v ¬q) v (¬p  ¬q) ¬p.Penyelesaian:¬(p v ¬q) v (¬p  ¬q) (¬p¬(¬q)) v (¬p  ¬q)………..HK De Morgan(¬pq) v (¬p  ¬q)……………..Hk negasi ganda¬p(q v ¬q)………………………Hk distributif¬pT………………………………Hk negasi¬p…………………………………..Hk identitasterbukti.Slide11

Definisi

Tautologi: Suatu bentuk kalimat yang selalu

bernilai benar, tidak peduli bagaimana nilai kebenaran masing2 kalimat penyusunnya.Definisi Kontradiksi: suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah, tidak peduli bagaimana nilai kebenaran masing2 kalimat penyusunnya.Slide12
Slide13
Slide14

Gunakan tabel kebenaran untuk memeriksa bahwa

masing-masing berikut adalah tautologi atau bukan

a. p  q

 q  p b. [¬ q  (p q)]  ¬ pSlide15

Konvers,invers,kontraposisi

Misal

diketahui: pqKonvers

: qpInvers : ¬p¬qKontraposisi : ¬q¬pImplikasi selalu ekivalen dng kontraposisinyaSlide16

16Slide17

Tentukan

konvers, invers,

dan kontraposisi dari: “Jika seekor burung bersuara merdu, maka harganya mahal” Penyelesaian: Konvers : Jika harga burung mahal, maka burung itu bersuara merdu Invers : Jika burung tidak bersuara merdu, maka harganya tidak mahal

Kontraposisi: Jika burung itu tidak mahal, maka ia tidak bersuara merdu ContohSlide18

Inferensi

Logika

Beberapa metode inferensi

(teknik menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesis yg ada tanpa harus menggunakan tabel kebenaran):ATURANBENTUK ARGUMENModus Ponenpqp qModus Tollenpq¬q ¬pPenambahan Disjungtifpp v qqp v qSlide19

ATURAN

BENTUK ARGUMEN

Penyederhanaan

Konjungtifpq ppq qSilogisme Disjungtifp v q¬p qp v q¬q pSilogisme HipotesispqqrprDilemap v qprqrrKonjungsipq

pqSlide20

Contoh

:

Pada suatu

hari anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar bahwa anda tidak memakai kaca mata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yg anda pastikan kebenarannya:Jika kacamataku diatas meja dapur maka saya pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagiSaya membaca koran di

ruang tamu atau saya membacanya di dapurJika saya membaca koran diruang tamu maka pastilah kacamata

kuletakkan diatas meja tamu

Saya tidak melihat kacamataku pada

waktu sarapan pagiJika

saya

membaca

buku

diranjang

maka

kacamata

kuletakkan

di

meja

samping

ranjang

Jika

saya

membaca

koran

didapur

maka

kacamata

ada

dimeja

dapur

.

Berdasarkan

fakta

tersebut

,

tentukan

dimana

letak

kacamata

anda

.Slide21

Penyelesaian

:

Misal:p: kacamataku ada

didapurq: aku melihat kacamataku ketika sarapan pagir: saya membaca koran diruang tamus: saya membaca koran didapurt: kacamata kuletakkan dimeja tamuu: saya membaca buku diranjangw: kacamata kuletakkan dimeja samping ranjangSlide22

p

q

2. r v s 3. rt 4. ¬quw

6. spInferensi:L1. pq fakta (1) L2. sp fakta (6) ¬q fakta(4) ¬p kesimp L1 ¬p (Modus Tollen) ¬s Modus TollenL3. r v s fakta (2) L4. rt fakta (3) ¬s kesimp L2 r kesimp L3 r t Modus PonenKesimpulan: Kacamata ada diruang tamuSlide23

METODE PEMBUKTIAN

Langkah2

melakukan pembuktian:Tulis

teorema yg akan dibuktikan Yg diketahui (hipotesa), yg dibuktikan.2. Tandai permulaan pembuktian dng tanda “Bukti”Buktikan secara lengkap & menyeluruh Tulis varibel dan sifatnya yg digunakan4. Tandai akhir pembuktian. Biasanya , #, qed atau dng kata “terbukti”, dllSlide24

Kesalahan

yg sering dilakukanMengambil

kesimpulan berdasarkan satu/beberapa contohMenggunakan simbol yg sama untuk menggambarkan 2 hal yg berbedaMelompat pd kesimpulanMengasumsikan apa yg akan dibuktikanSlide25

METODE PEMBUKTIAN

LANGSUNG

TIDAK LANGSUNG

Metode pengecekan satu persatuPembuktian berdasarkan kasusPembuktian dengan Eliminasi kasusPembuktian ekuivalensi

KontradiksiKontraposisiSlide26

Soal

latihan 126

Sebagian besar orang percaya bahwa harimau Jawa sudah lama punah. Tetapi, pada suatu hari Amir membuat pernyataan-pernyataan kontroversial sebagai berikut: (a)   Saya melihat harimau di hutan.

(b)  Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya juga

melihat srigala. 

Misalkan kita

diberitahu bahwa Amir kadang-kadang

suka

berbohong

dan

kadang-kadang

jujur

.

Gunakan

tabel

kebenaran

untuk

memeriksa

apakah

Amir

benar-benar

melihat

harimau

di

hutan

?Slide27

Penyelesaian

soal latihan

127(a)   Saya melihat harimau di hutan.(b)  Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya

juga melihat srigala.Misalkanp : Amir melihat

harimau di

hutanq

: Amir melihat srigala

Pernyataan

untuk

(a):

p

Pernyataan

untuk

(b):

p



q

Slide28

28Slide29

Soal

latihan 2

29[LIU85] Sebuah pulau didiami oleh dua suku asli. Penduduk suku pertama selalu mengatakan hal yang benar, sedangkan penduduk

dari suku lain selalu mengatakan kebohongan. Anda tiba di

pulau ini

dan bertanya

kepada seorang

penduduk

setempat

apakah

di

pulau

tersebut

ada

emas

atau

tidak

.

Ia

menjawab

, “

Ada

emas

di

pulau

ini

jika

dan

hanya

jika

saya

selalu

mengatakan

kebenaran

”.

Apakah

ada

emas

di

pulau

tersebut

?Slide30

Penyelesaian

soal latihan

230“Ada emas di pulau ini jika dan hanya jika saya selalu mengatakan kebenaran”Misalkan p : ada emas di pulau ini q :

saya selalu mengatakan kebenaranEkspresi logika: p  qTabel Kebenaran p 

q:

p

q

T

T

T

T

F

F

F

T

F

F

F

TSlide31

31

Ada

dua kemungkinan kasus: Kasus 1, orang yang memberi jawaban adalah orang dari suku yang selalu menyatakan hal yang benar. Ini berarti q benar, dan jawabannya

(p  q) pasti juga benar, sehingga pernyataan

bi-implikasi tersebut

bernilai benar. Dari Tabel bi-

implikasi kita melihat

bahwa

bila

q

benar

dan

p



q

benar

,

maka

p

harus

benar

.

Jadi

,

ada

emas

di

pulau

tersebut

adalah

benar

.

Kasus

2

,

orang

yang

memberi

jawaban

adalah

orang

dari

suku

yang

selalu

menyatakan

hal

yang

bohong

.

Ini

berarti

q

salah

,

dan

jawabannya

terhadap

pertanyaan

kita

pasti

juga

salah

,

sehingga

pernyataan

bi-

implikasi

tersebut

salah

. Dari

Tabel

bi-

implikasi

kita

melihat

bahwa

bila

q

salah

dan

p



q

salah

,

maka

p

harus

benar

.

Jadi

,

ada

emas

di

pulau

tersebut

adalah

benar

.

Dari

kedua

kasus

,

kita

selalu

berhasil

menyimpulkan

bahwa

ada

emas

di

pulau

tersebut

,

meskipun

kita

tidak

dapat

memastikan

dari

suku

mana

orang

tersebut

. Slide32

Soal

Latihan

332

Nyatakan pernyataan berikut dalam notasi simbolik! Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika anda berusia di bawah 17 tahun kecuali kalau anda

sudah menikah.Anda hanya dapat mengakses internet dari kampus hanya jika anda mahasiswa Informatika

atau anda bukan seorang sarjana

.Anda tidak dapat

menaiki roller coaster jika anda tingginya

kurang

dari

150 cm

kecuali

jika

anda

berusia

lebih

dari

16

tahun

.Slide33

Penyelesaian

Soal Latihan

3.133“ Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu jika anda berusia di bawah 17 tahun

kecuali kalau anda sudah menikah”.Format

: p jika

qSusun

ulang ke bentuk

standar

:

Jika

q

maka

p

“

Jika

anda

berusia

di

bawah

17

tahun

,

kecuali

kalau

anda

sudah

menikah

,

q r

maka

anda

tidak

dapat

terdaftar

sebagai

pemilih

dalam

Pemilu

”

p

maka

pernyataan

di

atas

dapat

ditulis

sebagai

:

  (

q



¬

r

)



¬

pSlide34

34

Penyelesaian

Soal Latihan 3.2“Anda hanya dapat mengakses internet dari kampus hanya jika anda mahasiswa Informatika atau anda bukan seorang sarjana.”

Format : q hanya jika pSusun ulang ke bentuk standar: Jika p maka

q Jika Anda mahasiswa Informatika

atau anda bukan

seorang sarjana p b

maka

Anda

dapat

mengakses

internet

dari

kampus

.

q

maka

pernyataan

di

atas

dapat

ditulis

sebagai

:

Slide35

Anda

tidak

dapat menaiki roller coaster jika anda tingginya kurang dari 150 cm kecuali jika anda berusia lebih dari 16 tahun. Format : q jika p Susun ke dalam bentuk standar : jika p maka q Jika Anda

tingginya kurang dari 150 cm, kecuali jika p

Anda

berusia l

ebih dari 16

tahun

n

maka

Anda

tidak

dapat

menaiki

roller coaster

.

q

maka

pernyataan

di

atas

dapat

ditulis

sebagai

:

Penyelesaian

Soal

Latihan

3

.3Slide36

36

Cara-

cara

mengekspresikan implikasi p  q:Jika p, maka q Jika p, qp mengakibatkan q q jika

pp hanya jika qp syarat

cukup untuk

q (hipotesis

menyatakan syarat

cukup

)

q

syarat

perlu

untuk

p

(

konklusi

menyatakan

syarat

perlu

)

q

bilamana

p

N

oteSlide37

Note

37Slide38

Note

38Slide39

TERIMA KASIH